Analysis Beispiele

$\int_{1}^{5} \ln (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = 1$ .

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} x \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{x}{x} d x$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{x}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (x) x]_{1}^{5} - (x]_{1}^{5})$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $\ln (x) x$ bei $5$ und $1$ .

$(\ln (5) \cdot 5) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{5})$

Schritt 4.2

Berechne $x$ bei $5$ und $1$ .

$(\ln (5) \cdot 5) - \ln (1) \cdot 1 - ((5) - 1)$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\ln (5)$ .

$5 \cdot \ln (5) - \ln (1) \cdot 1 - ((5) - 1)$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$5 \ln (5) - \ln (1) - ((5) - 1)$

Schritt 4.3.3

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$5 \ln (5) - \ln (1) - 1 \cdot 4$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$5 \ln (5) - \ln (1) - 4$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$5 \ln (5) - 0 - 4$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$5 \ln (5) + 0 - 4$

Schritt 5.2

Addiere $5 \ln (5)$ und $0$ .

$5 \ln (5) - 4$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$5 \ln (5) - 4$

Dezimalform:

$4.04718956 \dots$