Analysis Beispiele

$\int_{1}^{5} \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 \int_{1}^{5} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{1}^{5} x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \int_{1}^{5} x^{- 2} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$2 (- x^{- 1}]_{1}^{5})$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $- x^{- 1}$ bei $5$ und $1$ .

$2 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{5} + 1^{- 1})$

Schritt 4.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 (- \frac{1}{5} + 1)$

Schritt 4.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 (- \frac{1}{5} + \frac{5}{5})$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{- 1 + 5}{5}$

Schritt 4.2.5

Addiere $- 1$ und $5$ .

$2 (\frac{4}{5})$

Schritt 4.2.6

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{5}$

Schritt 4.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{8}{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{8}{5}$

Dezimalform:

$1.6$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{3}{5}$

Schritt 6