Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} x \sqrt{x} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{4} x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{1}^{4} x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{4} x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

Schritt 1.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{4} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Schritt 1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{4} x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

Schritt 1.2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ bei $4$ und $1$ .

$(\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 3.2.4

Potenziere $2$ mit $5$ .

$\frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 3.2.5

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $32$ .

$\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $32$ .

$\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 3.2.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{64}{5} - \frac{2}{5}$

Schritt 3.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{64 - 2}{5}$

Schritt 3.2.10

Subtrahiere $2$ von $64$ .

$\frac{62}{5}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{62}{5}$

Dezimalform:

$12.4$

Darstellung als gemischte Zahl:

$12 \frac{2}{5}$

Schritt 5