Analysis Beispiele

$\int_{- 2 x}^{2 x} s^{2} d s$

Schritt 1

Teile das Integral in zwei Integrale auf, wobei $c$ ein Wert zwischen $- 2 x$ und $2 x$ ist.

$\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s + \int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s + \int_{c}^{2 x} s^{2} d s$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Schritt 3

Vertausche die Grenzen der Integration.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{- 2 x} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Schritt 4

Nehme die Ableitung von $- \int_{c}^{- 2 x} s^{2} d s$ in Bezug auf $x$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis und der Kettenregel.

$\frac{d}{d x} [- 2 x] (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Schritt 6

Nehme die Ableitung von $\int_{c}^{2 x} s^{2} d s$ in Bezug auf $x$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis und der Kettenregel.

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x] {(2 x)}^{2}$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 \frac{d}{d x} [x] {(2 x)}^{2}$

Schritt 7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 \cdot 1 {(2 x)}^{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x$ heraus.

$- 2 (- {(- 2 (x))}^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.3.3.1

Wende die Produktregel auf $- 2 (x)$ an.

$- 2 (- ({(- 2)}^{2} x^{2})) + 2 {(2 x)}^{2}$

Schritt 7.3.3.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- 2 (- (4 x^{2})) + 2 {(2 x)}^{2}$

Schritt 7.3.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 2 (- 4 x^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

Schritt 7.3.3.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$8 x^{2} + 2 {(2 x)}^{2}$

Schritt 7.3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$8 x^{2} + 2 {(2 (x))}^{2}$

Schritt 7.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.3.5.1

Wende die Produktregel auf $2 (x)$ an.

$8 x^{2} + 2 (2^{2} x^{2})$

Schritt 7.3.5.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 x^{2} + 2 (4 x^{2})$

Schritt 7.3.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 x^{2} + 8 x^{2}$

Schritt 7.3.6

Addiere $8 x^{2}$ und $8 x^{2}$ .

$16 x^{2}$