Analysis Beispiele

\int_{- 2 x}^{2 x} s^{2} d s

$\int_{- 2 x}^{2 x} s^{2} d s$

Schritt 1

Teile das Integral in zwei Integrale auf, wobei

c

$c$ ein Wert zwischen

- 2 x

$- 2 x$ und

2 x

$2 x$ ist.

\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s + \int_{c}^{2 x} s^{2} d s]

$\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s + \int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s + \int_{c}^{2 x} s^{2} d s

$\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s + \int_{c}^{2 x} s^{2} d s$ nach

x

$x$

\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]

$\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$ .

\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]

$\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Schritt 3

Vertausche die Grenzen der Integration.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{- 2 x} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Schritt 4

Nehme die Ableitung von

$- \int_{c}^{- 2 x} s^{2} d s$ in Bezug auf

$x$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis und der Kettenregel.

$\frac{d}{d x} [- 2 x] (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

$- 2$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$- 2 x$ nach

$x$ gleich

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Schritt 5.3

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$1$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Schritt 6

Nehme die Ableitung von

$\int_{c}^{2 x} s^{2} d s$ in Bezug auf

$x$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis und der Kettenregel.

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x] {(2 x)}^{2}$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

$2$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$2 x$ nach

$x$ gleich

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 \frac{d}{d x} [x] {(2 x)}^{2}$

Schritt 7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 \cdot 1 {(2 x)}^{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere

$- 2$ aus

$- 2 x$ heraus.

$- 2 (- {(- 2 (x))}^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.3.3.1

Wende die Produktregel auf

$- 2 (x)$ an.

$- 2 (- ({(- 2)}^{2} x^{2})) + 2 {(2 x)}^{2}$

Schritt 7.3.3.2

Potenziere

$- 2$ mit

$2$ .

$- 2 (- (4 x^{2})) + 2 {(2 x)}^{2}$

Schritt 7.3.3.3

Mutltipliziere

$4$ mit

$- 1$ .

$- 2 (- 4 x^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

Schritt 7.3.3.4

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$- 2$ .

$8 x^{2} + 2 {(2 x)}^{2}$

Schritt 7.3.4

Faktorisiere

$2$ aus

$2 x$ heraus.

$8 x^{2} + 2 {(2 (x))}^{2}$

Schritt 7.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.3.5.1

Wende die Produktregel auf

$2 (x)$ an.

$8 x^{2} + 2 (2^{2} x^{2})$

Schritt 7.3.5.2

Potenziere

$2$ mit

$2$ .

$8 x^{2} + 2 (4 x^{2})$

Schritt 7.3.5.3

Mutltipliziere

$4$ mit

$2$ .

$8 x^{2} + 8 x^{2}$

Schritt 7.3.6

Addiere

$8 x^{2}$ und

$8 x^{2}$ .

$16 x^{2}$