Analysis Beispiele

$40 h^{5} + 4000000 = p^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d p} (40 h^{5} + 4000000) = \frac{d}{d p} (p^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $40 h^{5} + 4000000$ nach $p$ $\frac{d}{d p} [40 h^{5}] + \frac{d}{d p} [4000000]$ .

$\frac{d}{d p} [40 h^{5}] + \frac{d}{d p} [4000000]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d p} [40 h^{5}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $40$ konstant bezüglich $p$ ist, ist die Ableitung von $40 h^{5}$ nach $p$ gleich $40 \frac{d}{d p} [h^{5}]$ .

$40 \frac{d}{d p} [h^{5}] + \frac{d}{d p} [4000000]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ ist $f' (g (p)) g' (p)$ , mit $f (p) = p^{5}$ und $g (p) = h$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $h$ .

$40 (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d p} [h]) + \frac{d}{d p} [4000000]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$40 (5 u^{4} \frac{d}{d p} [h]) + \frac{d}{d p} [4000000]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $h$ .

$40 (5 h^{4} \frac{d}{d p} [h]) + \frac{d}{d p} [4000000]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d p} [h]$ als $h'$ um.

$40 (5 h^{4} h') + \frac{d}{d p} [4000000]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $40$ .

$200 h^{4} h' + \frac{d}{d p} [4000000]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $4000000$ konstant bezüglich $p$ ist, ist die Ableitung von $4000000$ bezüglich $p$ gleich $0$ .

$200 h^{4} h' + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $200 h^{4} h'$ und $0$ .

$200 h^{4} h'$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ gleich $n p^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 p^{2}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$200 h^{4} h' = 3 p^{2}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $200 h^{4} h' = 3 p^{2}$ durch $200 h^{4}$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $200 h^{4} h' = 3 p^{2}$ durch $200 h^{4}$ .

$\frac{200 h^{4} h'}{200 h^{4}} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $200$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{200 h^{4} h'}{200 h^{4}} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

Schritt 5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{h^{4} h'}{h^{4}} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h^{4}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h^{4} h'}{h^{4}} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $h'$ durch $1$ .

$h' = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

Schritt 6

Ersetze $h'$ durch $\frac{d h}{d p}$ .

$\frac{d h}{d p} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$