Analysis Beispiele

$f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ als Gleichung.

$y = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 2 \ln (\frac{y}{2} + 1)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ um.

$2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ durch $2$ .

$\frac{2 \ln (\frac{y}{2} + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \ln (\frac{y}{2} + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $\ln (\frac{y}{2} + 1)$ durch $1$ .

$\ln (\frac{y}{2} + 1) = \frac{x}{2}$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{y}{2} + 1)} = e^{\frac{x}{2}}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (\frac{y}{2} + 1) = \frac{x}{2}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x}{2}} = \frac{y}{2} + 1$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y}{2} + 1 = e^{\frac{x}{2}}$ um.

$\frac{y}{2} + 1 = e^{\frac{x}{2}}$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{2} = e^{\frac{x}{2}} - 1$

Schritt 3.5.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

Schritt 3.5.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y}{2} = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

Schritt 3.5.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Vereinfache $2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 2 e^{\frac{x}{2}} + 2 \cdot - 1$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\frac{2 \ln (\frac{x}{2} + 1)}{2}} - 2$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\frac{2 \ln (\frac{x}{2} + 1)}{2}} - 2$

Schritt 5.2.3.1.2

Dividiere $\ln (\frac{x}{2} + 1)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2} + 1)} - 2$

Schritt 5.2.3.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2} + 1) - 2$

Schritt 5.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

Schritt 5.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

Schritt 5.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 2 \cdot 1 - 2$

Schritt 5.2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 2 - 2$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 2 - 2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 e^{\frac{x}{2}} - 2}{2} + 1)$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ und $2$ .

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{\frac{x}{2}}$ heraus.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}}) - 2}{2} + 1)$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}}) + 2 \cdot - 1}{2} + 1)$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (e^{\frac{x}{2}}) + 2 (- 1)$ heraus.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2} + 1)$

Schritt 5.3.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2 (1)} + 1)$

Schritt 5.3.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2 \cdot 1} + 1)$

Schritt 5.3.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{e^{\frac{x}{2}} - 1}{1} + 1)$

Schritt 5.3.3.4.4

Dividiere $e^{\frac{x}{2}} - 1$ durch $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} - 1 + 1)$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $e^{\frac{x}{2}} - 1 + 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} + 0)$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $e^{\frac{x}{2}}$ und $0$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}})$

Schritt 5.3.5

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $\frac{x}{2}$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

Schritt 5.3.6

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2} \cdot 1)$

Schritt 5.3.7

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 5.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$