Analysis Beispiele

$\int x \sqrt[3]{x + 5} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sqrt[3]{x + 5}$ .

$x (\frac{3}{4} {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}) - \int \frac{3}{4} {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und ${(x + 5)}^{\frac{4}{3}}$ .

$x \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3}{4} {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}{4}$ .

$\frac{x (3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \int \frac{3}{4} {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} d x$

Schritt 3

Da $\frac{3}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{3}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{x (3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Schritt 4

Sei $u = x + 5$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = x + 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x + 5]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.1.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{x (3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} \int u^{\frac{4}{3}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{4}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{x (3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{x (3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$ als $\frac{3}{4} x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$ um.

$\frac{3}{4} x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x$ .

$\frac{3 x}{4} {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $\frac{3 x}{4}$ und ${(x + 5)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $\frac{3}{7}$ mit $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 4} u^{\frac{7}{3}} + C$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{7 \cdot 4} u^{\frac{7}{3}} + C$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}} + C$

Schritt 6.2.6

Um $- \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}} \cdot \frac{4}{4} + C$

Schritt 6.2.7

Kombiniere $- \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}}$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{- \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{4} + C$

Schritt 6.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{4} + C$

Schritt 6.2.9

Kombiniere $u^{\frac{7}{3}}$ und $\frac{9}{28}$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - \frac{u^{\frac{7}{3}} \cdot 9}{28} \cdot 4}{4} + C$

Schritt 6.2.10

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 4 \frac{u^{\frac{7}{3}} \cdot 9}{28}}{4} + C$

Schritt 6.2.11

Kombiniere $- 4$ und $\frac{u^{\frac{7}{3}} \cdot 9}{28}$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- 4 (u^{\frac{7}{3}} \cdot 9)}{28}}{4} + C$

Schritt 6.2.12

Mutltipliziere $9$ mit $- 4$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- 36 u^{\frac{7}{3}}}{28}}{4} + C$

Schritt 6.2.13

Faktorisiere $4$ aus $- 36 u^{\frac{7}{3}}$ heraus.

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (- 9 u^{\frac{7}{3}})}{28}}{4} + C$

Schritt 6.2.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.14.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (- 9 u^{\frac{7}{3}})}{4 (7)}}{4} + C$

Schritt 6.2.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (- 9 u^{\frac{7}{3}})}{4 \cdot 7}}{4} + C$

Schritt 6.2.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Schritt 6.2.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - \frac{9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Schritt 6.2.16

Um $3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{7}{7} - \frac{9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Schritt 6.2.17

Kombiniere $3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{7} - \frac{9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Schritt 6.2.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7 - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Schritt 6.2.19

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$\frac{\frac{21 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Schritt 6.2.20

Schreibe $\frac{\frac{21 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$ als ein Produkt um.

$\frac{21 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7} \cdot \frac{1}{4} + C$

Schritt 6.2.21

Mutltipliziere $\frac{21 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{21 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7 \cdot 4} + C$

Schritt 6.2.22

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$\frac{21 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $x + 5$ .

$\frac{21 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 9 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Schritt 8

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{28} (21 x {(x + 5)}^{\frac{4}{3}} - 9 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}) + C$