Analysis Beispiele

$\frac{d}{(d x) \int_{0}^{x} 13 t^{2} + \sqrt{t} d t}$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $d$ .

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Schritt 1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x \int_{0}^{x} 13 t^{2} + \sqrt{t} d t}$

Schritt 1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x \int_{0}^{x} 13 t^{2} + \sqrt{t} d t}$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{x (\int_{0}^{x} 13 t^{2} d t + \int_{0}^{x} \sqrt{t} d t)}$

Schritt 3

Da $13$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $13$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x (13 \int_{0}^{x} t^{2} d t + \int_{0}^{x} \sqrt{t} d t)}$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} \sqrt{t} d t)}$

Schritt 5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $t^{3}$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} \sqrt{t} d t)}$

Schritt 5.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{x (13 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} t^{\frac{1}{2}} d t)}$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{x})}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{x})}$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\frac{t^{3}}{3}$ bei $x$ und $0$ .

$\frac{1}{x (13 ((\frac{x^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{x})}$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ bei $x$ und $0$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{3}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Schritt 7.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 7.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Schritt 7.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Schritt 7.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Schritt 7.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{1}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Schritt 7.2.3.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - 0) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Schritt 7.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} + 0) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Schritt 7.2.3.4

Addiere $\frac{x^{3}}{3}$ und $0$ .

$\frac{1}{x (13 \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Schritt 7.2.3.5

Kombiniere $13$ und $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Schritt 7.2.3.6

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Schritt 7.2.3.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})}$

Schritt 7.2.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})}$

Schritt 7.2.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})}$

Schritt 7.2.3.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})}$

Schritt 7.2.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{0}{3})}$

Schritt 7.2.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 7.2.3.11.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{3 (0)}{3})}$

Schritt 7.2.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}$

Schritt 7.2.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}$

Schritt 7.2.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{0}{1})}$

Schritt 7.2.3.11.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 0)}$

Schritt 7.2.3.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 0)}$

Schritt 7.2.3.13

Addiere $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ und $0$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Schritt 7.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{x (\frac{13}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $x^{\frac{3}{2}}$ aus $\frac{13}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

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Schritt 8.1.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 8.1.1.1.1

Stelle $\frac{13}{3}$ und $x^{3}$ um.

$\frac{1}{x (x^{3} \frac{13}{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 8.1.1.1.2

Stelle $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ um.

$\frac{1}{x (x^{3} \frac{13}{3} + x^{\frac{3}{2}} \frac{2}{3})}$

Schritt 8.1.1.2

Faktorisiere $x^{\frac{3}{2}}$ aus $x^{3} \frac{13}{3}$ heraus.

$\frac{1}{x (x^{\frac{3}{2}} (x^{\frac{3}{2}} \frac{13}{3}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{2}{3})}$

Schritt 8.1.1.3

Faktorisiere $x^{\frac{3}{2}}$ aus $x^{\frac{3}{2}} (x^{\frac{3}{2}} \frac{13}{3}) + x^{\frac{3}{2}} (\frac{2}{3})$ heraus.

$\frac{1}{x (x^{\frac{3}{2}} (x^{\frac{3}{2}} \frac{13}{3} + \frac{2}{3}))}$

Schritt 8.1.2

Kombiniere $x^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{13}{3}$ .

$\frac{1}{x (x^{\frac{3}{2}} (\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 13}{3} + \frac{2}{3}))}$

Schritt 8.1.3

Bringe $13$ auf die linke Seite von $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{x (x^{\frac{3}{2}} (\frac{13 \cdot x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3}))}$

Schritt 8.1.4

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{1}{x \cdot x^{\frac{3}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

Schritt 8.1.5

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.1.5.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 8.1.5.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{\frac{3}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

Schritt 8.1.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{x^{1 + \frac{3}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

Schritt 8.1.5.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

Schritt 8.1.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{x^{\frac{2 + 3}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

Schritt 8.1.5.4

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

Schritt 8.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}} \frac{13 x^{\frac{3}{2}} + 2}{3}}$

Schritt 8.2

Kombiniere $x^{\frac{5}{2}}$ und $\frac{13 x^{\frac{3}{2}} + 2}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{\frac{5}{2}} (13 x^{\frac{3}{2}} + 2)}{3}}$

Schritt 8.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{3}{x^{\frac{5}{2}} (13 x^{\frac{3}{2}} + 2)}$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $\frac{3}{x^{\frac{5}{2}} (13 x^{\frac{3}{2}} + 2)}$ mit $1$ .

$\frac{3}{x^{\frac{5}{2}} (13 x^{\frac{3}{2}} + 2)}$