Analysis Beispiele

$4 x \cos (y) + 7 \sin (2 y) = 5 \sin (y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (4 x \cos (y) + 7 \sin (2 y)) = \frac{d}{d x} (5 \sin (y))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x \cos (y) + 7 \sin (2 y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x \cos (y)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x \cos (y)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (y)$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$4 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Schritt 2.2.3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$4 (x (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$4 (x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Schritt 2.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 \sin (2 y)$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 y$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 y])$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 y])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 y$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (2 y) \frac{d}{d x} [2 y])$

Schritt 2.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (2 y) (2 y'))$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 14 \cos (2 y) y'$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (x (- \sin (y) y')) + 4 \cos (y) + 14 \cos (2 y) y'$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 x \sin (y) y' + 4 \cos (y) + 14 \cos (2 y) y'$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 \cos (2 y) y' + 4 \cos (y)$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \sin (y)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$5 (\cos (u) \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$5 (\cos (y) \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 \cos (y) y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 \cos (2 y) y' + 4 \cos (y) = 5 \cos (y) y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' + 4 \cos (y) = 5 \cos (y) y'$

Schritt 5.2

Subtrahiere $4 \cos (y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' = 5 \cos (y) y' - 4 \cos (y)$

Schritt 5.3

Subtrahiere $5 \cos (y) y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

Schritt 5.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - 5 \cos (y) y'$ .

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Schritt 5.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x \sin (y) y' + (14 \cdot 1 + 14 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

Schritt 5.4.1.1.2

Mutltipliziere $14$ mit $1$ .

$- 4 x \sin (y) y' + (14 + 14 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

Schritt 5.4.1.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $14$ .

$- 4 x \sin (y) y' + (14 - 28 \sin^{2} (y)) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

Schritt 5.4.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 y' - 28 \sin^{2} (y) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

Schritt 5.4.1.2

Stelle die Faktoren in $- 4 x \sin (y) y' + 14 y' - 28 \sin^{2} (y) y' - 5 \cos (y) y'$ um.

$- 4 x y' \sin (y) + 14 y' - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung nach $y'$ auf.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 4 x y' \sin (y) + 14 y' - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y)$ heraus.

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Schritt 5.5.1.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 4 x y' \sin (y)$ heraus.

$y' (- 4 x \sin (y)) + 14 y' - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

Schritt 5.5.1.2

Faktorisiere $y'$ aus $14 y'$ heraus.

$y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14 - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

Schritt 5.5.1.3

Faktorisiere $y'$ aus $- 28 y' \sin^{2} (y)$ heraus.

$y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14 + y' (- 28 \sin^{2} (y)) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

Schritt 5.5.1.4

Faktorisiere $y'$ aus $- 5 y' \cos (y)$ heraus.

$y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14 + y' (- 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

Schritt 5.5.1.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14$ heraus.

$y' (- 4 x \sin (y) + 14) + y' (- 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

Schritt 5.5.1.6

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 4 x \sin (y) + 14) + y' (- 28 \sin^{2} (y))$ heraus.

$y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

Schritt 5.5.1.7

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y))$ heraus.

$y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$ durch $- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$ durch $- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)$ .

$\frac{y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y))}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)} = \frac{- 4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)$ .

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Schritt 5.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y))}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)} = \frac{- 4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Schritt 5.5.2.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Schritt 5.5.2.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x \sin (y)$ heraus.

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y)) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Schritt 5.5.2.3.3

Schreibe $14$ als $- 1 (- 14)$ um.

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y)) - 1 (- 14) - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Schritt 5.5.2.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x \sin (y)) - 1 (- 14)$ heraus.

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14) - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Schritt 5.5.2.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 28 \sin^{2} (y)$ heraus.

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14) - (28 \sin^{2} (y)) - 5 \cos (y)}$

Schritt 5.5.2.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x \sin (y) - 14) - (28 \sin^{2} (y))$ heraus.

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y)) - 5 \cos (y)}$

Schritt 5.5.2.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 \cos (y)$ heraus.

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y)) - (5 \cos (y))}$

Schritt 5.5.2.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y)) - (5 \cos (y))$ heraus.

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))}$

Schritt 5.5.2.3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.5.2.3.9.1

Schreibe $- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))$ als $- 1 (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))$ um.

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- 1 (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))}$

Schritt 5.5.2.3.9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - - \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

Schritt 5.5.2.3.9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y' = 1 \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

Schritt 5.5.2.3.9.4

Mutltipliziere $\frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$ mit $1$ .

$y' = \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$