Analysis Beispiele

$\int \frac{2 x - 4}{2 x^{2} - 8} d x$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 x - 4$ und $2 x^{2} - 8$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\int \frac{2 (x) - 4}{2 x^{2} - 8} d x]$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\int \frac{2 (x) + 2 \cdot - 2}{2 x^{2} - 8} d x]$

Schritt 1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- 2)$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\int \frac{2 (x - 2)}{2 x^{2} - 8} d x]$

Schritt 1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\int \frac{2 (x - 2)}{2 (x^{2}) - 8} d x]$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\int \frac{2 (x - 2)}{2 x^{2} + 2 \cdot - 4} d x]$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\int \frac{2 (x - 2)}{2 (x^{2} - 4)} d x]$

Schritt 1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\int \frac{2 (x - 2)}{2 (x^{2} - 4)} d x]$

Schritt 1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\int \frac{x - 2}{x^{2} - 4} d x]$

Schritt 2

$\int \frac{x - 2}{x^{2} - 4} d x$ is eine Stammfunktion von $\frac{x - 2}{x^{2} - 4}$ , folglich ist per Definition $\frac{d}{d x} [\int \frac{x - 2}{x^{2} - 4} d x]$ gleich $\frac{x - 2}{x^{2} - 4}$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x) - 4}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 (x) + 2 \cdot - 2}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- 2)$ heraus.

$\frac{2 (x - 2)}{2 x^{2} - 8}$

Schritt 2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (x - 2)}{2 (x^{2}) - 8}$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{2 (x - 2)}{2 x^{2} + 2 \cdot - 4}$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{2 (x - 2)}{2 (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x - 2)}{2 (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 2}{x^{2} - 4}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{x - 2}{x^{2} - 2^{2}}$

Schritt 3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x + 2}$