Analysis Beispiele

$\int 48 x^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} d x$

Schritt 1

Da $48$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $48$ aus dem Integral.

$48 \int x^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{3} + 4$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{3} + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{3} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.1.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$48 \int u^{3} \frac{1}{3} d u$

Schritt 3

Kombiniere $u^{3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$48 \int \frac{u^{3}}{3} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$48 (\frac{1}{3} \int u^{3} d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $48$ .

$\frac{48}{3} \int u^{3} d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $3$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $48$ heraus.

$\frac{3 \cdot 16}{3} \int u^{3} d u$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 16}{3 (1)} \int u^{3} d u$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 16}{3 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16}{1} \int u^{3} d u$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $16$ durch $1$ .

$16 \int u^{3} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$16 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $16 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ als $16 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ um.

$16 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $16$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{16}{4} u^{4} + C$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 \cdot 4}{4} u^{4} + C$

Schritt 7.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} u^{4} + C$

Schritt 7.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} u^{4} + C$

Schritt 7.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{1} u^{4} + C$

Schritt 7.2.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 u^{4} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} + 4$ .

$4 {(x^{3} + 4)}^{4} + C$