Analysis Beispiele

$\int 4 e^{- 0.2 x} d x$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int e^{- 0.2 x} d x$

Schritt 2

Sei $u = - 0.2 x$ . Dann ist $d u = - 0.2 d x$ , folglich $\frac{1}{- 0.2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = - 0.2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $- 0.2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.2 x]$

Schritt 2.1.2

Da $- 0.2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 0.2 x$ nach $x$ gleich $- 0.2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 0.2 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $- 0.2$ mit $1$ .

$- 0.2$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$4 \int e^{u} \frac{1}{- 0.2} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 \int e^{u} (- \frac{1}{0.2}) d u$

Schritt 3.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{0.2}$ .

$4 \int - \frac{e^{u}}{0.2} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (- \int \frac{e^{u}}{0.2} d u)$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 \int \frac{e^{u}}{0.2} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{0.2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{0.2}$ aus dem Integral.

$- 4 (\frac{1}{0.2} \int e^{u} d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{0.2}$ und $- 4$ .

$\frac{- 4}{0.2} \int e^{u} d u$

Schritt 7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{0.2} \int e^{u} d u$

Schritt 8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{4}{0.2} (e^{u} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $- \frac{4}{0.2} (e^{u} + C)$ als $- 1 \cdot 20 e^{u} + C$ um.

$- 1 \cdot 20 e^{u} + C$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$- 20 e^{u} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $- 0.2 x$ .

$- 20 e^{- 0.2 x} + C$