Analysis Beispiele

$\int_{4}^{7} 6 (t^{2} - 11 t + 30) d t$

Schritt 1

Da $6$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int_{4}^{7} t^{2} - 11 t + 30 d t$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$6 (\int_{4}^{7} t^{2} d t + \int_{4}^{7} - 11 t d t + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} t^{3}]_{4}^{7} + \int_{4}^{7} - 11 t d t + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $t^{3}$ .

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} + \int_{4}^{7} - 11 t d t + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Schritt 5

Da $- 11$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 11$ aus dem Integral.

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} - 11 \int_{4}^{7} t d t + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} - 11 (\frac{1}{2} t^{2}]_{4}^{7}) + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} - 11 (\frac{t^{2}}{2}]_{4}^{7}) + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} - 11 (\frac{t^{2}}{2}]_{4}^{7}) + 30 t]_{4}^{7})$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7}$ und $30 t]_{4}^{7}$ .

$6 (\frac{t^{3}}{3} + 30 t]_{4}^{7} - 11 (\frac{t^{2}}{2}]_{4}^{7}))$

Schritt 9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Berechne $\frac{t^{3}}{3} + 30 t$ bei $7$ und $4$ .

$6 ((\frac{7^{3}}{3} + 30 \cdot 7) - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 (\frac{t^{2}}{2}]_{4}^{7}))$

Schritt 9.2.2

Berechne $\frac{t^{2}}{2}$ bei $7$ und $4$ .

$6 ((\frac{7^{3}}{3} + 30 \cdot 7) - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Schritt 9.2.3

Vereinfache.

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Schritt 9.2.3.1

Potenziere $7$ mit $3$ .

$6 (\frac{343}{3} + 30 \cdot 7 - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Schritt 9.2.3.2

Mutltipliziere $30$ mit $7$ .

$6 (\frac{343}{3} + 210 - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Schritt 9.2.3.3

Um $210$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{343}{3} + 210 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Schritt 9.2.3.4

Kombiniere $210$ und $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{343}{3} + \frac{210 \cdot 3}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Schritt 9.2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 (\frac{343 + 210 \cdot 3}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Schritt 9.2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.3.6.1

Mutltipliziere $210$ mit $3$ .

$6 (\frac{343 + 630}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Schritt 9.2.3.6.2

Addiere $343$ und $630$ .

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Schritt 9.2.3.7

Potenziere $4$ mit $3$ .

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{64}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Schritt 9.2.3.8

Mutltipliziere $30$ mit $4$ .

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{64}{3} + 120) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Schritt 9.2.3.9

Um $120$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{64}{3} + 120 \cdot \frac{3}{3}) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Schritt 9.2.3.10

Kombiniere $120$ und $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{64}{3} + \frac{120 \cdot 3}{3}) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Schritt 9.2.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 (\frac{973}{3} - \frac{64 + 120 \cdot 3}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Schritt 9.2.3.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.3.12.1

Mutltipliziere $120$ mit $3$ .

$6 (\frac{973}{3} - \frac{64 + 360}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Schritt 9.2.3.12.2

Addiere $64$ und $360$ .

$6 (\frac{973}{3} - \frac{424}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Schritt 9.2.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 (\frac{973 - 424}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Schritt 9.2.3.14

Subtrahiere $424$ von $973$ .

$6 (\frac{549}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Schritt 9.2.3.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $549$ und $3$ .

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Schritt 9.2.3.15.1

Faktorisiere $3$ aus $549$ heraus.

$6 (\frac{3 \cdot 183}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Schritt 9.2.3.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.15.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$6 (\frac{3 \cdot 183}{3 (1)} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Schritt 9.2.3.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 (\frac{3 \cdot 183}{3 \cdot 1} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Schritt 9.2.3.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 (\frac{183}{1} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Schritt 9.2.3.15.2.4

Dividiere $183$ durch $1$ .

$6 (183 - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Schritt 9.2.3.16

Potenziere $7$ mit $2$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{4^{2}}{2}))$

Schritt 9.2.3.17

Potenziere $4$ mit $2$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{16}{2}))$

Schritt 9.2.3.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 9.2.3.18.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2}))$

Schritt 9.2.3.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.18.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}))$

Schritt 9.2.3.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}))$

Schritt 9.2.3.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{8}{1}))$

Schritt 9.2.3.18.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - 1 \cdot 8))$

Schritt 9.2.3.19

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - 8))$

Schritt 9.2.3.20

Um $- 8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2}))$

Schritt 9.2.3.21

Kombiniere $- 8$ und $\frac{2}{2}$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2}))$

Schritt 9.2.3.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 (183 - 11 \frac{49 - 8 \cdot 2}{2})$

Schritt 9.2.3.23

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.3.23.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$6 (183 - 11 \frac{49 - 16}{2})$

Schritt 9.2.3.23.2

Subtrahiere $16$ von $49$ .

$6 (183 - 11 (\frac{33}{2}))$

Schritt 9.2.3.24

Kombiniere $- 11$ und $\frac{33}{2}$ .

$6 (183 + \frac{- 11 \cdot 33}{2})$

Schritt 9.2.3.25

Mutltipliziere $- 11$ mit $33$ .

$6 (183 + \frac{- 363}{2})$

Schritt 9.2.3.26

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 (183 - \frac{363}{2})$

Schritt 9.2.3.27

Um $183$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$6 (183 \cdot \frac{2}{2} - \frac{363}{2})$

Schritt 9.2.3.28

Kombiniere $183$ und $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{183 \cdot 2}{2} - \frac{363}{2})$

Schritt 9.2.3.29

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 \frac{183 \cdot 2 - 363}{2}$

Schritt 9.2.3.30

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.3.30.1

Mutltipliziere $183$ mit $2$ .

$6 \frac{366 - 363}{2}$

Schritt 9.2.3.30.2

Subtrahiere $363$ von $366$ .

$6 (\frac{3}{2})$

Schritt 9.2.3.31

Kombiniere $6$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{2}$

Schritt 9.2.3.32

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\frac{18}{2}$

Schritt 9.2.3.33

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $2$ .

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Schritt 9.2.3.33.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

Schritt 9.2.3.33.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.33.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

Schritt 9.2.3.33.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.2.3.33.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{1}$

Schritt 9.2.3.33.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$9$

Schritt 10