Analysis Beispiele

$\int - 7 x e^{4 x - 2} d x$

Schritt 1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 7$ aus dem Integral.

$- 7 \int x e^{4 x - 2} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (x (\frac{1}{4} e^{4 x - 2}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (x \frac{e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

Schritt 3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{4 x - 2}}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{e^{4 x - 2}}{4} d x)$

Schritt 4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x - 2} d x))$

Schritt 5

Sei $u = 4 x - 2$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 4 x - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $4 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $4$ und $0$ .

$4$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Schritt 6

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Schreibe $- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ als $- 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ um.

$- 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x$ .

$- 7 (\frac{x}{4} e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Schritt 10.2.2

Kombiniere $\frac{x}{4}$ und $e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Schritt 10.2.3

Um $- \frac{1}{16} e^{u}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} e^{u} \cdot \frac{4}{4}) + C$

Schritt 10.2.4

Kombiniere $- \frac{1}{16} e^{u}$ und $\frac{4}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} + \frac{- \frac{1}{16} e^{u} \cdot 4}{4}) + C$

Schritt 10.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u} \cdot 4}{4} + C$

Schritt 10.2.6

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{16}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{e^{u}}{16} \cdot 4}{4} + C$

Schritt 10.2.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - 4 \frac{e^{u}}{16}}{4} + C$

Schritt 10.2.8

Kombiniere $- 4$ und $\frac{e^{u}}{16}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{- 4 e^{u}}{16}}{4} + C$

Schritt 10.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $16$ .

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Schritt 10.2.9.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 e^{u}$ heraus.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{16}}{4} + C$

Schritt 10.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.9.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{4 (4)}}{4} + C$

Schritt 10.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{4 \cdot 4}}{4} + C$

Schritt 10.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{- e^{u}}{4}}{4} + C$

Schritt 10.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

Schritt 10.2.11

Um $x e^{4 x - 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

Schritt 10.2.12

Kombiniere $x e^{4 x - 2}$ und $\frac{4}{4}$ .

$- 7 \frac{\frac{x e^{4 x - 2} \cdot 4}{4} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

Schritt 10.2.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 7 \frac{\frac{x e^{4 x - 2} \cdot 4 - e^{u}}{4}}{4} + C$

Schritt 10.2.14

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x e^{4 x - 2}$ .

$- 7 \frac{\frac{4 \cdot (x e^{4 x - 2}) - e^{u}}{4}}{4} + C$

Schritt 10.2.15

Schreibe $\frac{\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4}}{4}$ als ein Produkt um.

$- 7 (\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Schritt 10.2.16

Mutltipliziere $\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- 7 \frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4 \cdot 4} + C$

Schritt 10.2.17

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- 7 \frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{16} + C$

Schritt 10.2.18

Kombiniere $- 7$ und $\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{16}$ .

$\frac{- 7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{u})}{16} + C$

Schritt 10.2.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{u})}{16} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $4 x - 2$ .

$- \frac{7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{4 x - 2})}{16} + C$

Schritt 12

Stelle die Terme um.

$- \frac{7}{16} (4 x e^{4 x - 2} - e^{4 x - 2}) + C$