Analysis Beispiele

$- \int t \ln (t) d t$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (t)$ und $d v = t$ .

$- (\ln (t) (\frac{1}{2} t^{2}) - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t)$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$- (\ln (t) \frac{t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t)$

Schritt 2.2

Kombiniere $\ln (t)$ und $\frac{t^{2}}{2}$ .

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t)$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t^{2}}{2} \cdot \frac{1}{t} d t)$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\frac{t^{2}}{2}$ mit $\frac{1}{t}$ .

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t^{2}}{2 t} d t)$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t^{2}$ und $t$ .

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{2}$ heraus.

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t \cdot t}{2 t} d t)$

Schritt 2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $t$ aus $2 t$ heraus.

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t \cdot t}{t \cdot 2} d t)$

Schritt 2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t \cdot t}{t \cdot 2} d t)$

Schritt 2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t}{2} d t)$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int t d t))$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C))$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} + C))$

Schritt 5.2

Schreibe $- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} + C))$ als $- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{t^{2}}{4}) + C$ um.

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{t^{2}}{4}) + C$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$- (\frac{1}{2} \ln (t) t^{2} - \frac{1}{4} t^{2}) + C$