Analysis Beispiele

$\int \sin (u) \cos (u) d u$

Schritt 1

Sei $u_{1} = \sin (u)$ . Dann ist $d u_{1} = \cos (u) d u$ , folglich $\frac{1}{\cos (u)} d u_{1} = d u$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = \sin (u)$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\sin (u)$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int u_{1} d u_{1}$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C$

Schritt 3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} \sin^{2} (u) + C$