Analysis Beispiele

$\int \sin (9 t) + \sin (2 t) d t$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \sin (9 t) d t + \int \sin (2 t) d t$

Schritt 2

Sei $u_{1} = 9 t$ . Dann ist $d u_{1} = 9 d t$ , folglich $\frac{1}{9} d u_{1} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = 9 t$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $9 t$ .

$\frac{d}{d t} [9 t]$

Schritt 2.1.2

Da $9$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $9 t$ nach $t$ gleich $9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$9 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$9$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{9} d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

Schritt 3

Kombiniere $\sin (u_{1})$ und $\frac{1}{9}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{9} d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

Schritt 4

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{9}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{9} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

Schritt 5

Das Integral von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \sin (2 t) d t$

Schritt 6

Sei $u_{2} = 2 t$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{2} = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 6.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \sin (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 7

Kombiniere $\sin (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\sin (u_{2})}{2} d u_{2}$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 9

Das Integral von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (- \cos (u_{2}) + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$- \frac{\cos (u_{1})}{9} + \frac{1}{2} (- \cos (u_{2})) + C$

Schritt 10.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (u_{2})$ .

$- \frac{\cos (u_{1})}{9} - \frac{\cos (u_{2})}{2} + C$

Schritt 11

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 11.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $9 t$ .

$- \frac{\cos (9 t)}{9} - \frac{\cos (u_{2})}{2} + C$

Schritt 11.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 t$ .

$- \frac{\cos (9 t)}{9} - \frac{\cos (2 t)}{2} + C$

Schritt 12

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{9} \cos (9 t) - \frac{1}{2} \cos (2 t) + C$