Analysis Beispiele

$\int \sqrt{7 x + 4} d x$

Schritt 1

Sei $u = 7 x + 4$ . Dann ist $d u = 7 d x$ , folglich $\frac{1}{7} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 7 x + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $7 x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [7 x + 4]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$7 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $7$ und $0$ .

$7$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sqrt{u} \frac{1}{7} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{7}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{7}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{7} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{7} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{1}{7} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $\frac{1}{7} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{7 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$\frac{2}{21} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $7 x + 4$ .

$\frac{2}{21} {(7 x + 4)}^{\frac{3}{2}} + C$