Analysis Beispiele

$\int_{\ln (27)}^{\ln (216)} e^{\frac{x}{3}} d x$

Schritt 1

Sei $u = \frac{x}{3}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{3} d x$ , folglich $3 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{x}{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Schritt 1.1.2

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \frac{x}{3}$ ein.

$u_{lower} = \frac{\ln (27)}{3}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe $\ln (27)$ als $\ln (3^{3})$ um.

$u_{lower} = \frac{\ln (3^{3})}{3}$

Schritt 1.3.2

Zerlege $\ln (3^{3})$ durch Herausziehen von $3$ aus dem Logarithmus.

$u_{lower} = \frac{3 \ln (3)}{3}$

Schritt 1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = \frac{3 \ln (3)}{3}$

Schritt 1.3.3.2

Dividiere $\ln (3)$ durch $1$ .

$u_{lower} = \ln (3)$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \frac{x}{3}$ ein.

$u_{upper} = \frac{\ln (216)}{3}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Schreibe $\frac{\ln (216)}{3}$ als $\frac{1}{3} \ln (216)$ um.

$u_{upper} = \frac{1}{3} \ln (216)$

Schritt 1.5.2

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (216)$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$u_{upper} = \ln (216^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.5.3

Schreibe $216$ als $6^{3}$ um.

$u_{upper} = \ln ({(6^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.5.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \ln (6^{3 (\frac{1}{3})})$

Schritt 1.5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.5.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = \ln (6^{3 (\frac{1}{3})})$

Schritt 1.5.5.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \ln (6^{1})$

Schritt 1.5.6

Berechne den Exponenten.

$u_{upper} = \ln (6)$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \ln (3)$

$u_{upper} = \ln (6)$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{3}$ zu dividieren.

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} (1 \cdot 3) d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} \cdot 3 d u$

Schritt 2.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{u}$ .

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} 3 e^{u} d u$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$3 (e^{u}]_{\ln (3)}^{\ln (6)})$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $e^{u}$ bei $\ln (6)$ und $\ln (3)$ .

$3 ((e^{\ln (6)}) - e^{\ln (3)})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$3 (6 - e^{\ln (3)})$

Schritt 5.2.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$3 (6 - 1 \cdot 3)$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 (6 - 3)$

Schritt 5.2.4

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$3 \cdot 3$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9$

Schritt 6