Analysis Beispiele

$x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2} = 0$

Schritt 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Schritt 1.1

Addiere $9 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y^{2} - 4 y^{2} = 9 x^{2}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x^{2} y^{2} - 4 y^{2}$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x^{2} y^{2}$ heraus.

$y^{2} x^{2} - 4 y^{2} = 9 x^{2}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- 4 y^{2}$ heraus.

$y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 4 = 9 x^{2}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 4$ heraus.

$y^{2} (x^{2} - 4) = 9 x^{2}$

Schritt 1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y^{2} (x^{2} - 2^{2}) = 9 x^{2}$

Schritt 1.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$y^{2} ((x + 2) (x - 2)) = 9 x^{2}$

Schritt 1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$y^{2} (x + 2) (x - 2) = 9 x^{2}$

Schritt 1.5

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} (x + 2) (x - 2) = 9 x^{2}$ durch $(x + 2) (x - 2)$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} (x + 2) (x - 2) = 9 x^{2}$ durch $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{y^{2} (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 1.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} (x - 2)}{x - 2} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} (x - 2)}{x - 2} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.5.2.2.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}}$

Schritt 1.7

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}}$ .

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Schritt 1.7.1

Schreibe $\sqrt{\frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}}$ als $\frac{\sqrt{9 x^{2}}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{9 x^{2}}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Schritt 1.7.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.2.1

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{{(3 x)}^{2}}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Schritt 1.7.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm \frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Schritt 1.7.3

Mutltipliziere $\frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ mit $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$y = \pm \frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Schritt 1.7.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.4.1

Mutltipliziere $\frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ mit $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Schritt 1.7.4.2

Potenziere $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Schritt 1.7.4.3

Potenziere $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} {\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1}}$

Schritt 1.7.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.7.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}}$

Schritt 1.7.4.6

Schreibe ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ als $(x + 2) (x - 2)$ um.

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Schritt 1.7.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ als ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.7.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.7.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.7.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.7.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.7.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{1}}$

Schritt 1.7.4.6.5

Vereinfache.

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.8

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.8.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.8.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \to f (x) = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \to f (x) = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2} = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 3.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 3.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 3.2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 3.2.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 3.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 3.2.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 3.2.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 3.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.3.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 3.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 3.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 y^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.4.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.4.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y y')$

Schritt 3.2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 8 y y'$

Schritt 3.2.5

Stelle die Terme um.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x$

Schritt 3.3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x = 0$

Schritt 3.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 3.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1.1

Subtrahiere $2 y^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} y y' - 8 y y' - 18 x = - 2 y^{2} x$

Schritt 3.5.1.2

Addiere $18 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} y y' - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 x^{2} y y' - 8 y y'$ heraus.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 x^{2} y y'$ heraus.

$2 y y' x^{2} - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere $2 y y'$ aus $- 8 y y'$ heraus.

$2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4 = - 2 y^{2} x + 18 x$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4$ heraus.

$2 y y' (x^{2} - 4) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Schritt 3.5.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 y y' (x^{2} - 2^{2}) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Schritt 3.5.4

Faktorisiere.

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Schritt 3.5.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$2 y y' ((x + 2) (x - 2)) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Schritt 3.5.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Schritt 3.5.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ durch $2 y (x + 2) (x - 2)$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ durch $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{(y (x + 2)) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.5.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.5.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 3.5.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.5.5.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.5.5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 3.5.5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.5.5.2.4.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 3.5.5.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y^{2} x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.5.5.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.5.5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.5.5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y^{2} x}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.5.5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 3.5.5.3.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2} x$ heraus.

$y' = \frac{y (- y x)}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.5.5.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.5.3.1.2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $(y (x + 2)) (x - 2)$ heraus.

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.5.5.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.5.5.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.5.5.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.5.5.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $2$ .

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Schritt 3.5.5.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $18 x$ heraus.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.5.5.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.5.3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

Schritt 3.5.5.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

Schritt 3.5.5.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{(y (x + 2)) (x - 2)}$

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} = 0$ .

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Schritt 4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$(x + 2) (x - 2), y (x + 2) (x - 2), 1$

Schritt 4.1.2

Since $(x + 2) (x - 2), y (x + 2) (x - 2), 1$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

Schritte, um das kgV für $(x + 2) (x - 2), y (x + 2) (x - 2), 1$ zu finden, sind:

1. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1, 1$ .

2. Finde das kgV für den variablen Teil $y^{1}$ .

Finde das kgV für den zusammengesetzten variablen Teil $x + 2, x - 2, x + 2, x - 2$ .

4. Multipliziere jedes kgV miteinander.

Schritt 4.1.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 4.1.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 4.1.5

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 4.1.6

Der Teiler von $y^{1}$ ist $y$ selbst.

$y^{1} = y$

$y$ occurs $1$ time.

Schritt 4.1.7

Das kgV von $y^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$y$

Schritt 4.1.8

Der Teiler von $x + 2$ ist $x + 2$ selbst.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ occurs $1$ time.

Schritt 4.1.9

Der Teiler von $x - 2$ ist $x - 2$ selbst.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ occurs $1$ time.

Schritt 4.1.10

Der Teiler von $x + 2$ ist $x + 2$ selbst.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ occurs $1$ time.

Schritt 4.1.11

Der Teiler von $x - 2$ ist $x - 2$ selbst.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ occurs $1$ time.

Schritt 4.1.12

Das kgV von $x + 2, x - 2, x + 2, x - 2$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(x + 2) (x - 2)$

Schritt 4.1.13

Das kleinste gemeinsame Vielfache $LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$y (x + 2) (x - 2)$

Schritt 4.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} = 0$ mit $y (x + 2) (x - 2)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} = 0$ mit $y (x + 2) (x - 2)$ .

$- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(x + 2) (x - 2)$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)}$ in den Zähler.

$\frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $y (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$\frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2) (y)) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Schritt 4.2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2) y) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Schritt 4.2.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- y x y + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Schritt 4.2.2.1.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- 1 x (y^{1} y) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Schritt 4.2.2.1.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- 1 x (y^{1} y^{1}) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Schritt 4.2.2.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 1 x y^{1 + 1} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Schritt 4.2.2.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- 1 x y^{2} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Schritt 4.2.2.1.6

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- x y^{2} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Schritt 4.2.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y (x + 2) (x - 2)$ .

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Schritt 4.2.2.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- x y^{2} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Schritt 4.2.2.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 4.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x y^{2} + 9 x = 0 ((y x + y \cdot 2) (x - 2))$

Schritt 4.2.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 ((y x + 2 \cdot y) (x - 2))$

Schritt 4.2.3.2

Multipliziere $(y x + 2 y) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x (x - 2) + 2 y (x - 2))$

Schritt 4.2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + y x \cdot - 2 + 2 y (x - 2))$

Schritt 4.2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + y x \cdot - 2 + 2 y x + 2 y \cdot - 2)$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.3.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y x \cdot x + y x \cdot - 2 + 2 y x + 2 y \cdot - 2$ .

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Schritt 4.2.3.3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $y x \cdot - 2$ und $2 y x$ neu an.

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x - 2 x y + 2 x y + 2 y \cdot - 2)$

Schritt 4.2.3.3.1.2

Addiere $- 2 x y$ und $2 x y$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + 0 + 2 y \cdot - 2)$

Schritt 4.2.3.3.1.3

Addiere $y x \cdot x$ und $0$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + 2 y \cdot - 2)$

Schritt 4.2.3.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.3.2.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.3.3.2.1.1

Bewege $x$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y (x \cdot x) + 2 y \cdot - 2)$

Schritt 4.2.3.3.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x^{2} + 2 y \cdot - 2)$

Schritt 4.2.3.3.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x^{2} - 4 y)$

Schritt 4.2.3.3.3

Mutltipliziere $0$ mit $y x^{2} - 4 y$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0$

Schritt 4.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $x$ aus $- x y^{2} + 9 x$ heraus.

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- x y^{2}$ heraus.

$x (- 1 y^{2}) + 9 x = 0$

Schritt 4.3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $9 x$ heraus.

$x (- 1 y^{2}) + x \cdot 9 = 0$

Schritt 4.3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 1 y^{2}) + x \cdot 9$ heraus.

$x (- 1 y^{2} + 9) = 0$

Schritt 4.3.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x (- 1 y^{2} + 3^{2}) = 0$

Schritt 4.3.3

Stelle $- 1 y^{2}$ und $3^{2}$ um.

$x (3^{2} - 1 y^{2}) = 0$

Schritt 4.3.4

Faktorisiere.

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Schritt 4.3.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = y$ .

$x ((3 + y) (3 - y)) = 0$

Schritt 4.3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (3 + y) (3 - y) = 0$

Schritt 4.3.5

Teile jeden Ausdruck in $x (3 + y) (3 - y) = 0$ durch $(3 + y) (3 - y)$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x (3 + y) (3 - y) = 0$ durch $(3 + y) (3 - y)$ .

$\frac{x (3 + y) (3 - y)}{(3 + y) (3 - y)} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Schritt 4.3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 + y$ .

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Schritt 4.3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (3 + y) (3 - y)}{(3 + y) (3 - y)} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Schritt 4.3.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (3 - y)}{3 - y} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Schritt 4.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 - y$ .

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Schritt 4.3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (3 - y)}{3 - y} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Schritt 4.3.5.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Schritt 4.3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.5.3.1

Dividiere $0$ durch $(3 + y) (3 - y)$ .

$x = 0$

Schritt 5

Solve the function $f (x) = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ at $x = 0$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{3 (0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}}{((0) + 2) ((0) - 2)}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $(0) + 2$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $3 (0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}$ heraus.

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{((0) + 2) ((0) - 2)}$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $((0) + 2) ((0) - 2)$ heraus.

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) ((0) - 2))}$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) ((0) - 2))}$

Schritt 5.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (0) = \frac{3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)})}{(0 + 1) ((0) - 2)}$

Schritt 5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $(0) - 2$ .

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Schritt 5.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $3 \cdot (0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}$ heraus.

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{(0 + 1) ((0) - 2)}$

Schritt 5.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $(0 + 1) ((0) - 2)$ heraus.

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) (0 - 1))}$

Schritt 5.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) (0 - 1))}$

Schritt 5.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (0) = \frac{3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)})}{(0 + 1) (0 - 1)}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f (0) = \frac{0 \sqrt{(0 + 2) (0 - 2)}}{(0 + 1) (0 - 1)}$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{(0 + 2) (0 - 2)}$ .

$f (0) = \frac{0}{(0 + 1) (0 - 1)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe $0$ als $- 1 (0)$ um.

$f (0) = \frac{0}{(- 1 \cdot 0 + 1) (0 - 1)}$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$f (0) = \frac{0}{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1) (0 - 1)}$

Schritt 5.2.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1$ heraus.

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}$

Schritt 5.2.3.4

Potenziere $0 - 1$ mit $1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}$

Schritt 5.2.3.5

Potenziere $0 - 1$ mit $1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}$

Schritt 5.2.3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{1 + 1}}$

Schritt 5.2.3.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 {(- 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.4.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot 1}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 5.2.5.2

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$f (0) = 0$

Schritt 5.2.6

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 6

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0$

$y = 0, y = 0$

Schritt 7