Analysis Beispiele

$\int \csc (5 x - 3) \cot (5 x - 3) d x$

Schritt 1

Sei $u = 5 x - 3$ . Dann ist $d u = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 5 x - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $5 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $5$ und $0$ .

$5$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \csc (u) \cot (u) \frac{1}{5} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $\csc (u)$ .

$\int \frac{\csc (u)}{5} \cot (u) d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{\csc (u)}{5}$ und $\cot (u)$ .

$\int \frac{\csc (u) \cot (u)}{5} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} \int \csc (u) \cot (u) d u$

Schritt 4

Da die Ableitung von $- \csc (u)$ gleich $\csc (u) \cot (u)$ ist, ist das Integral von $\csc (u) \cot (u)$ gleich $- \csc (u)$ .

$\frac{1}{5} (- \csc (u) + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

$\frac{1}{5} (- \csc (u)) + C$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $\csc (u)$ .

$- \frac{\csc (u)}{5} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $5 x - 3$ .

$- \frac{\csc (5 x - 3)}{5} + C$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{5} \csc (5 x - 3) + C$