Analysis Beispiele

$\int 9 x \sin (2 x) d x$

Schritt 1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int x \sin (2 x) d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin (2 x)$ .

$9 (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\cos (2 x)$ und $\frac{1}{2}$ .

$9 (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Schritt 3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Schritt 3.3

Kombiniere $\cos (2 x)$ und $\frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ mit $1$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Schritt 7

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 7.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 8

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u)$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

Schritt 11

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$

Schritt 12

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Schritt 12.1

Schreibe $9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$ als $9 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$ um.

$9 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Schritt 12.2

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Schritt 12.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Schritt 12.2.2

Kombiniere $\cos (2 x)$ und $\frac{x}{2}$ .

$9 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Schritt 12.2.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\sin (u)$ .

$9 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$9 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

Schritt 14

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Schritt 14.1

Stelle die Faktoren in $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ um.

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

Schritt 14.2

Stelle die Terme um.

$9 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x)) + C$