Analysis Beispiele

$\int 6 x^{3} {(1 + x^{8})}^{- 1} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int 6 x^{3} \frac{1}{1 + x^{8}} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere $6 x^{3} \frac{1}{1 + x^{8}}$ .

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Schritt 1.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{1 + x^{8}}$ .

$\int x^{3} \frac{6}{1 + x^{8}} d x$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{6}{1 + x^{8}}$ .

$\int \frac{x^{3} \cdot 6}{1 + x^{8}} d x$

Schritt 1.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$\int \frac{6 x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

Schritt 2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int \frac{x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

Schritt 3

Schreibe $x^{8}$ als ${(x^{4})}^{2}$ um.

$6 \int \frac{x^{3}}{1 + {(x^{4})}^{2}} d x$

Schritt 4

Sei $u = x^{4}$ . Dann ist $d u = 4 x^{3} d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = x^{4}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$6 \int \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + u^{2}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$6 \int \frac{1}{(1 + u^{2}) \cdot 4} d u$

Schritt 5.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $1 + u^{2}$ .

$6 \int \frac{1}{4 (1 + u^{2})} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$6 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u)$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $6$ .

$\frac{6}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Schritt 7.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (3)}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Schritt 7.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Schritt 7.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Schritt 7.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Schritt 7.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ nach $u$ ist $\arctan (u) + C$ .

$\frac{3}{2} (\arctan (u) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{3}{2} \arctan (u) + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$\frac{3}{2} \arctan (x^{4}) + C$