Analysis Beispiele

$\int 9 \csc^{2} (6 x - 2) d x$

Schritt 1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int \csc^{2} (6 x - 2) d x$

Schritt 2

Sei $u = 6 x - 2$ . Dann ist $d u = 6 d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 6 x - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $6 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $6$ und $0$ .

$6$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$9 \int \csc^{2} (u) \frac{1}{6} d u$

Schritt 3

Kombiniere $\csc^{2} (u)$ und $\frac{1}{6}$ .

$9 \int \frac{\csc^{2} (u)}{6} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$9 (\frac{1}{6} \int \csc^{2} (u) d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $9$ .

$\frac{9}{6} \int \csc^{2} (u) d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $6$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3 (3)}{6} \int \csc^{2} (u) d u$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \csc^{2} (u) d u$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \csc^{2} (u) d u$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2} \int \csc^{2} (u) d u$

Schritt 6

Da die Ableitung von $- \cot (u)$ gleich $\csc^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (u)$ gleich $- \cot (u)$ .

$\frac{3}{2} (- \cot (u) + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

$\frac{3}{2} (- \cot (u)) + C$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $\cot (u)$ .

$- \frac{3 \cot (u)}{2} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $6 x - 2$ .

$- \frac{3 \cot (6 x - 2)}{2} + C$

Schritt 9

Stelle die Terme um.

$- \frac{3}{2} \cot (6 x - 2) + C$