Analysis Beispiele

$\int_{p}^{- p} \sqrt{\sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt{\sqrt[3]{x}}$ als $\sqrt[6]{x}$ um.

$\frac{d}{d p} [\int_{p}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

Schritt 2

Teile das Integral in zwei Integrale auf, wobei $c$ ein Wert zwischen $p$ und $- p$ ist.

$\frac{d}{d p} [\int_{p}^{c} \sqrt[6]{x} d x + \int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

Schritt 3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\int_{p}^{c} \sqrt[6]{x} d x + \int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x$ nach $p$ $\frac{d}{d p} [\int_{p}^{c} \sqrt[6]{x} d x] + \frac{d}{d p} [\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$ .

$\frac{d}{d p} [\int_{p}^{c} \sqrt[6]{x} d x] + \frac{d}{d p} [\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

Schritt 4

Vertausche die Grenzen der Integration.

$\frac{d}{d p} [- \int_{c}^{p} \sqrt[6]{x} d x] + \frac{d}{d p} [\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

Schritt 5

Nehme die Ableitung von $- \int_{c}^{p} \sqrt[6]{x} d x$ in Bezug auf $p$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis.

$- \sqrt[6]{p} + \frac{d}{d p} [\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

Schritt 6

Nehme die Ableitung von $\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x$ in Bezug auf $p$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis und der Kettenregel.

$- \sqrt[6]{p} + \frac{d}{d p} [- p] \sqrt[6]{- p}$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $p$ ist, ist die Ableitung von $- p$ nach $p$ gleich $- \frac{d}{d p} [p]$ .

$- \sqrt[6]{p} - \frac{d}{d p} [p] \sqrt[6]{- p}$

Schritt 7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ gleich $n p^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \sqrt[6]{p} - 1 \cdot 1 \sqrt[6]{- p}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \sqrt[6]{p} - \sqrt[6]{- p}$