Analysis Beispiele

$\int \frac{3 x - 3}{{(x - 2 x + 1)}^{2}} d x$

Schritt 1

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$\int \frac{3 x - 3}{{(- x + 1)}^{2}} d x$

Schritt 2

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 2.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x - 3$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{3 (x) - 3}{{(- x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 (x) + 3 (- 1)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x) + 3 (- 1)$ heraus.

$\frac{3 (x - 1)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{{(- x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3

$\frac{A}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{B}{- x + 1}$

Schritt 2.1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich ${(- x + 1)}^{2}$ .

$\frac{3 (x - 1) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Schritt 2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(- x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x - 1) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Schritt 2.1.5.2

Dividiere $3 (x - 1)$ durch $1$ .

$3 (x - 1) = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Schritt 2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x + 3 \cdot - 1 = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Schritt 2.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$3 x - 3 = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Schritt 2.1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(- x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 2.1.8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x - 3 = \frac{A {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Schritt 2.1.8.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$3 x - 3 = A + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Schritt 2.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- x + 1)}^{2}$ und $- x + 1$ .

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Schritt 2.1.8.2.1

Faktorisiere $- x + 1$ aus $(B) {(- x + 1)}^{2}$ heraus.

$3 x - 3 = A + \frac{(- x + 1) (B (- x + 1))}{- x + 1}$

Schritt 2.1.8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.8.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$3 x - 3 = A + \frac{(- x + 1) (B (- x + 1))}{(- x + 1) \cdot 1}$

Schritt 2.1.8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x - 3 = A + \frac{(- x + 1) (B (- x + 1))}{(- x + 1) \cdot 1}$

Schritt 2.1.8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x - 3 = A + \frac{B (- x + 1)}{1}$

Schritt 2.1.8.2.2.4

Dividiere $B (- x + 1)$ durch $1$ .

$3 x - 3 = A + B (- x + 1)$

Schritt 2.1.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x - 3 = A + B (- x) + B \cdot 1$

Schritt 2.1.8.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x - 3 = A - B x + B \cdot 1$

Schritt 2.1.8.5

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$3 x - 3 = A - B x + B$

Schritt 2.1.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.9.1

Bewege $B$ .

$3 x - 3 = A - x B + B$

Schritt 2.1.9.2

Stelle $A$ und $- x B$ um.

$3 x - 3 = - x B + A + B$

Schritt 2.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$3 = - 1 B$

Schritt 2.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 3 = A + B$

Schritt 2.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$3 = - 1 B$

$- 3 = A + B$

$3 = - 1 B$

$- 3 = A + B$

Schritt 2.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 2.3.1

Löse in $3 = - 1 B$ nach $B$ auf.

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $- 1 B = 3$ um.

$- 1 B = 3$

$- 3 = A + B$

Schritt 2.3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 1 B = 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 1 B = 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- 1 B}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

Schritt 2.3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{B}{1} = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

Schritt 2.3.1.2.2.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

$B = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

Schritt 2.3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1.2.3.1

Dividiere $3$ durch $- 1$ .

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

Schritt 2.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $- 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Ersetze alle $B$ in $- 3 = A + B$ durch $- 3$ .

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Entferne die Klammern.

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

Schritt 2.3.3

Löse in $- 3 = A - 3$ nach $A$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $A - 3 = - 3$ um.

$A - 3 = - 3$

$B = - 3$

Schritt 2.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $A$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$A = - 3 + 3$

$B = - 3$

Schritt 2.3.3.2.2

Addiere $- 3$ und $3$ .

$A = 0$

$B = - 3$

$A = 0$

$B = - 3$

$A = 0$

$B = - 3$

Schritt 2.3.4

Löse das Gleichungssystem.

$A = 0 B = - 3$

Schritt 2.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = 0, B = - 3$

Schritt 2.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{B}{- x + 1}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{0}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{- 3}{- x + 1}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Dividiere $0$ durch ${(- x + 1)}^{2}$ .

$0 + \frac{- 3}{- x + 1}$

Schritt 2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - \frac{3}{- x + 1}$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$0 - \frac{3}{- (x) + 1}$

Schritt 2.5.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$0 - \frac{3}{- (x) - 1 \cdot - 1}$

Schritt 2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

$0 - \frac{3}{- (x - 1)}$

Schritt 2.5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.6.1

Schreibe $- (x - 1)$ als $- 1 (x - 1)$ um.

$0 - \frac{3}{- 1 (x - 1)}$

Schritt 2.5.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 + \frac{3}{x - 1}$

Schritt 2.5.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{3}{x - 1})$

Schritt 2.5.6.4

Mutltipliziere $\frac{3}{x - 1}$ mit $1$ .

$0 + \frac{3}{x - 1}$

Schritt 2.5.7

Entferne die Null aus dem Ausdruck.

$\int \frac{3}{x - 1} d x$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 4

Sei $u = x - 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$3 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$3 (\ln (| u |) + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

$3 \ln (| u |) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$3 \ln (| x - 1 |) + C$