Analysis Beispiele

$\int \frac{300}{{(3 x + 25)}^{2}} d x$

Schritt 1

Da $300$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $300$ aus dem Integral.

$300 \int \frac{1}{{(3 x + 25)}^{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 3 x + 25$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 3 x + 25$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $3 x + 25$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 25]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [25]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$300 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{2}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$300 \int \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

Schritt 3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u^{2}$ .

$300 \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$300 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $300$ .

$\frac{300}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $300$ und $3$ .

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Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $300$ heraus.

$\frac{3 \cdot 100}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 5.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 100}{3 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 5.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 100}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 5.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{100}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 5.1.2.2.4

Dividiere $100$ durch $1$ .

$100 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.2.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$100 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 5.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$100 \int u^{- 2} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$100 (- u^{- 1} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $100 (- u^{- 1} + C)$ als $100 (- \frac{1}{u}) + C$ um.

$100 (- \frac{1}{u}) + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $100$ .

$- 100 \frac{1}{u} + C$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $- 100$ und $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 100}{u} + C$

Schritt 7.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{100}{u} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $3 x + 25$ .

$- \frac{100}{3 x + 25} + C$