Analysis Beispiele

$\int \frac{2 x}{\sqrt{16 - 9 x^{2}}} d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{x}{\sqrt{16 - 9 x^{2}}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 16 - 9 x^{2}$ . Dann ist $d u = - 18 x d x$ , folglich $- \frac{1}{18} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 16 - 9 x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $16 - 9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [16 - 9 x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 - 9 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 9 (2 x)$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$0 - 18 x$

Schritt 2.1.4

Subtrahiere $18 x$ von $0$ .

$- 18 x$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 18} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{18}) d u$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{18}$ .

$2 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 18} d u$

Schritt 3.3

Bringe $18$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$2 \int - \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (- \int \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u)$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{18 \sqrt{u}} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{18}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{18}$ aus dem Integral.

$- 2 (\frac{1}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{18}$ und $- 2$ .

$\frac{- 2}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 7.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $18$ .

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (- 1)}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 7.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 7.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 7.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 7.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 7.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{1}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 7.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{1}{9} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 7.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{9} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 7.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$- \frac{1}{9} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 7.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{9} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{9} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $- \frac{1}{9} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ als $- \frac{1}{9} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$- \frac{1}{9} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{9}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{9}$ .

$\frac{- 2}{9} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{9} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $16 - 9 x^{2}$ .

$- \frac{2}{9} {(16 - 9 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$