Analysis Beispiele

$\int \frac{2 x^{2} - 9 x - 35}{(x + 1) (x + 2) (x + 3)} d x$

Schritt 1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 35 = - 70$ und deren Summe gleich $b = - 9$ ist.

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Schritt 1.1.1.1.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 9 x$ heraus.

$\frac{2 x^{2} - 9 (x) - 35}{(x + 1) (x + 2) (x + 3)}$

Schritt 1.1.1.1.2

Schreibe $- 9$ um als $5$ plus $- 14$

$\frac{2 x^{2} + (5 - 14) x - 35}{(x + 1) (x + 2) (x + 3)}$

Schritt 1.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 14 x - 35}{(x + 1) (x + 2) (x + 3)}$

Schritt 1.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(2 x^{2} + 5 x) - 14 x - 35}{(x + 1) (x + 2) (x + 3)}$

Schritt 1.1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (2 x + 5) - 7 (2 x + 5)}{(x + 1) (x + 2) (x + 3)}$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 5$ .

$\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{(x + 1) (x + 2) (x + 3)}$

Schritt 1.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Schritt 1.1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$

Schritt 1.1.4

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x + 3}$

Schritt 1.1.5

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(x + 1) (x + 2) (x + 3)$ .

$\frac{(2 x + 5) (x - 7) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 1) (x + 2) (x + 3)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 1.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.1.6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{((2 x + 5) (x - 7) (x + 2)) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 1.1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x + 5) (x - 7) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{((2 x + 5) (x - 7)) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 1.1.6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x + 5) (x - 7) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.6.3.2

Dividiere $(2 x + 5) (x - 7)$ durch $1$ .

$(2 x + 5) (x - 7) = \frac{(A) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.7

Multipliziere $(2 x + 5) (x - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (x - 7) + 5 (x - 7) = \frac{(A) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 (x - 7) = \frac{(A) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 = \frac{(A) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.8.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.8.1.1.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 = \frac{(A) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.8.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 = \frac{(A) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.8.1.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$2 x^{2} - 14 x + 5 x + 5 \cdot - 7 = \frac{(A) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.8.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 7$ .

$2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35 = \frac{(A) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.8.2

Addiere $- 14 x$ und $5 x$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = \frac{(A) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 1.1.9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} - 9 x - 35 = \frac{A (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9.1.2

Dividiere $((A) (x + 2)) (x + 3)$ durch $1$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = ((A) (x + 2)) (x + 3) + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 9 x - 35 = (A x + A \cdot 2) (x + 3) + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $A$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = (A x + 2 \cdot A) (x + 3) + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9.4

Multipliziere $(A x + 2 A) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.9.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x (x + 3) + 2 A (x + 3) + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x \cdot x + A x \cdot 3 + 2 A (x + 3) + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x \cdot x + A x \cdot 3 + 2 A x + 2 A \cdot 3 + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.9.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.9.5.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.9.5.1.1.1

Bewege $x$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A (x \cdot x) + A x \cdot 3 + 2 A x + 2 A \cdot 3 + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9.5.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + A x \cdot 3 + 2 A x + 2 A \cdot 3 + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9.5.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $A x$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 3 \cdot (A x) + 2 A x + 2 A \cdot 3 + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9.5.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 3 A x + 2 A x + 6 A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9.5.2

Addiere $3 A x$ und $2 A x$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 A x + 6 A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 1.1.9.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 A x + 6 A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9.6.2

Dividiere $(B) (x + 1) (x + 3)$ durch $1$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 A x + 6 A + (B) (x + 1) (x + 3) + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9.7

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 A x + 6 A + (B x + B \cdot 1) (x + 3) + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9.8

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 A x + 6 A + (B x + B) (x + 3) + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9.9

Multipliziere $(B x + B) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.9.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 A x + 6 A + B x (x + 3) + B (x + 3) + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 A x + 6 A + B x \cdot x + B x \cdot 3 + B (x + 3) + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 A x + 6 A + B x \cdot x + B x \cdot 3 + B x + B \cdot 3 + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.9.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.9.10.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.9.10.1.1.1

Bewege $x$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 A x + 6 A + B (x \cdot x) + B x \cdot 3 + B x + B \cdot 3 + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9.10.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 A x + 6 A + B x^{2} + B x \cdot 3 + B x + B \cdot 3 + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9.10.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $B x$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 A x + 6 A + B x^{2} + 3 \cdot (B x) + B x + B \cdot 3 + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9.10.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $B$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 A x + 6 A + B x^{2} + 3 B x + B x + 3 B + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9.10.2

Addiere $3 B x$ und $B x$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 A x + 6 A + B x^{2} + 4 B x + 3 B + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 1.1.9.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 A x + 6 A + B x^{2} + 4 B x + 3 B + \frac{(C) (x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.9.11.2

Dividiere $(C) (x + 1) (x + 2)$ durch $1$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 A x + 6 A + B x^{2} + 4 B x + 3 B + (C) (x + 1) (x + 2)$

Schritt 1.1.9.12

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 A x + 6 A + B x^{2} + 4 B x + 3 B + (C x + C \cdot 1) (x + 2)$

Schritt 1.1.9.13

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 A x + 6 A + B x^{2} + 4 B x + 3 B + (C x + C) (x + 2)$

Schritt 1.1.9.14

Multipliziere $(C x + C) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.9.14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 A x + 6 A + B x^{2} + 4 B x + 3 B + C x (x + 2) + C (x + 2)$

Schritt 1.1.9.14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 A x + 6 A + B x^{2} + 4 B x + 3 B + C x \cdot x + C x \cdot 2 + C (x + 2)$

Schritt 1.1.9.14.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 A x + 6 A + B x^{2} + 4 B x + 3 B + C x \cdot x + C x \cdot 2 + C x + C \cdot 2$

Schritt 1.1.9.15

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.9.15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.9.15.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.9.15.1.1.1

Bewege $x$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 A x + 6 A + B x^{2} + 4 B x + 3 B + C (x \cdot x) + C x \cdot 2 + C x + C \cdot 2$

Schritt 1.1.9.15.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 A x + 6 A + B x^{2} + 4 B x + 3 B + C x^{2} + C x \cdot 2 + C x + C \cdot 2$

Schritt 1.1.9.15.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C x$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 A x + 6 A + B x^{2} + 4 B x + 3 B + C x^{2} + 2 \cdot (C x) + C x + C \cdot 2$

Schritt 1.1.9.15.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 A x + 6 A + B x^{2} + 4 B x + 3 B + C x^{2} + 2 C x + C x + 2 C$

Schritt 1.1.9.15.2

Addiere $2 C x$ und $C x$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 A x + 6 A + B x^{2} + 4 B x + 3 B + C x^{2} + 3 C x + 2 C$

Schritt 1.1.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.10.1

Bewege $A$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 x A + 6 A + B x^{2} + 4 B x + 3 B + C x^{2} + 3 C x + 2 C$

Schritt 1.1.10.2

Stelle $B$ und $x^{2}$ um.

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 x A + 6 A + B x^{2} + 4 B x + 3 B + C x^{2} + 3 C x + 2 C$

Schritt 1.1.10.3

Bewege $B$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 x A + 6 A + B x^{2} + 4 x B + 3 B + C x^{2} + 3 C x + 2 C$

Schritt 1.1.10.4

Bewege $3 B$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 x A + 6 A + B x^{2} + 4 x B + C x^{2} + 3 C x + 3 B + 2 C$

Schritt 1.1.10.5

Bewege $6 A$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 x A + B x^{2} + 4 x B + C x^{2} + 3 C x + 6 A + 3 B + 2 C$

Schritt 1.1.10.6

Bewege $4 x B$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + 5 x A + B x^{2} + C x^{2} + 4 x B + 3 C x + 6 A + 3 B + 2 C$

Schritt 1.1.10.7

Bewege $5 x A$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} + 5 x A + 4 x B + 3 C x + 6 A + 3 B + 2 C$

Schritt 1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$2 = A + B + C$

Schritt 1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 9 = 5 A + 4 B + 3 C$

Schritt 1.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 35 = 6 A + 3 B + 2 C$

Schritt 1.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$2 = A + B + C$

$- 9 = 5 A + 4 B + 3 C$

$- 35 = 6 A + 3 B + 2 C$

$2 = A + B + C$

$- 9 = 5 A + 4 B + 3 C$

$- 35 = 6 A + 3 B + 2 C$

Schritt 1.3

Löse das Gleichungssystem.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Löse in $2 = A + B + C$ nach $A$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $A + B + C = 2$ um.

$A + B + C = 2$

$- 9 = 5 A + 4 B + 3 C$

$- 35 = 6 A + 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $A$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1.2.1

Subtrahiere $B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A + C = 2 - B$

$- 9 = 5 A + 4 B + 3 C$

$- 35 = 6 A + 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.1.2.2

Subtrahiere $C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = 2 - B - C$

$- 9 = 5 A + 4 B + 3 C$

$- 35 = 6 A + 3 B + 2 C$

$A = 2 - B - C$

$- 9 = 5 A + 4 B + 3 C$

$- 35 = 6 A + 3 B + 2 C$

$A = 2 - B - C$

$- 9 = 5 A + 4 B + 3 C$

$- 35 = 6 A + 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $2 - B - C$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $- 9 = 5 A + 4 B + 3 C$ durch $2 - B - C$ .

$- 9 = 5 (2 - B - C) + 4 B + 3 C$

$A = 2 - B - C$

$- 35 = 6 A + 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.2.1

Vereinfache $5 (2 - B - C) + 4 B + 3 C$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 9 = 5 \cdot 2 + 5 (- B) + 5 (- C) + 4 B + 3 C$

$A = 2 - B - C$

$- 35 = 6 A + 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.2.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.3.2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$- 9 = 10 + 5 (- B) + 5 (- C) + 4 B + 3 C$

$A = 2 - B - C$

$- 35 = 6 A + 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 9 = 10 - 5 B + 5 (- C) + 4 B + 3 C$

$A = 2 - B - C$

$- 35 = 6 A + 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.2.2.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 9 = 10 - 5 B - 5 C + 4 B + 3 C$

$A = 2 - B - C$

$- 35 = 6 A + 3 B + 2 C$

$- 9 = 10 - 5 B - 5 C + 4 B + 3 C$

$A = 2 - B - C$

$- 35 = 6 A + 3 B + 2 C$

$- 9 = 10 - 5 B - 5 C + 4 B + 3 C$

$A = 2 - B - C$

$- 35 = 6 A + 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.2.1.2.1

Addiere $- 5 B$ und $4 B$ .

$- 9 = 10 - B - 5 C + 3 C$

$A = 2 - B - C$

$- 35 = 6 A + 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.2.2.1.2.2

Addiere $- 5 C$ und $3 C$ .

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

$- 35 = 6 A + 3 B + 2 C$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

$- 35 = 6 A + 3 B + 2 C$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

$- 35 = 6 A + 3 B + 2 C$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

$- 35 = 6 A + 3 B + 2 C$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $A$ in $- 35 = 6 A + 3 B + 2 C$ durch $2 - B - C$ .

$- 35 = 6 (2 - B - C) + 3 B + 2 C$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.4.1

Vereinfache $6 (2 - B - C) + 3 B + 2 C$ .

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Schritt 1.3.2.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 35 = 6 \cdot 2 + 6 (- B) + 6 (- C) + 3 B + 2 C$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.2.4.1.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.4.1.1.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$- 35 = 12 + 6 (- B) + 6 (- C) + 3 B + 2 C$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.2.4.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 35 = 12 - 6 B + 6 (- C) + 3 B + 2 C$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.2.4.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 35 = 12 - 6 B - 6 C + 3 B + 2 C$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

$- 35 = 12 - 6 B - 6 C + 3 B + 2 C$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

$- 35 = 12 - 6 B - 6 C + 3 B + 2 C$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.2.4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.3.2.4.1.2.1

Addiere $- 6 B$ und $3 B$ .

$- 35 = 12 - 3 B - 6 C + 2 C$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.2.4.1.2.2

Addiere $- 6 C$ und $2 C$ .

$- 35 = 12 - 3 B - 4 C$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

$- 35 = 12 - 3 B - 4 C$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

$- 35 = 12 - 3 B - 4 C$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

$- 35 = 12 - 3 B - 4 C$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

$- 35 = 12 - 3 B - 4 C$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.3

Löse in $- 35 = 12 - 3 B - 4 C$ nach $B$ auf.

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Schritt 1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $12 - 3 B - 4 C = - 35$ um.

$12 - 3 B - 4 C = - 35$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 B - 4 C = - 35 - 12$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.3.2.2

Addiere $4 C$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 B = - 35 - 12 + 4 C$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.3.2.3

Subtrahiere $12$ von $- 35$ .

$- 3 B = - 47 + 4 C$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

$- 3 B = - 47 + 4 C$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 B = - 47 + 4 C$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 B = - 47 + 4 C$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 47}{- 3} + \frac{4 C}{- 3}$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 1.3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 47}{- 3} + \frac{4 C}{- 3}$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.3.3.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{- 47}{- 3} + \frac{4 C}{- 3}$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

$B = \frac{- 47}{- 3} + \frac{4 C}{- 3}$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

$B = \frac{- 47}{- 3} + \frac{4 C}{- 3}$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.3.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$B = \frac{47}{3} + \frac{4 C}{- 3}$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.3.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$- 9 = 10 - B - 2 C$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $\frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $- 9 = 10 - B - 2 C$ durch $\frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$ .

$- 9 = 10 - (\frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}) - 2 C$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.4.2.1

Vereinfache $10 - (\frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}) - 2 C$ .

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Schritt 1.3.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 9 = 10 - \frac{47}{3} + \frac{4 C}{3} - 2 C$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.4.2.1.1.2

Multipliziere $- - \frac{4 C}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.4.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 9 = 10 - \frac{47}{3} + 1 (\frac{4 C}{3}) - 2 C$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.4.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $\frac{4 C}{3}$ mit $1$ .

$- 9 = 10 - \frac{47}{3} + \frac{4 C}{3} - 2 C$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - B - C$

$- 9 = 10 - \frac{47}{3} + \frac{4 C}{3} - 2 C$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - B - C$

$- 9 = 10 - \frac{47}{3} + \frac{4 C}{3} - 2 C$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.4.2.1.2

Um $10$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 9 = 10 \cdot \frac{3}{3} - \frac{47}{3} + \frac{4 C}{3} - 2 C$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.4.2.1.3

Kombiniere $10$ und $\frac{3}{3}$ .

$- 9 = \frac{10 \cdot 3}{3} - \frac{47}{3} + \frac{4 C}{3} - 2 C$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 9 = \frac{10 \cdot 3 - 47}{3} + \frac{4 C}{3} - 2 C$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$- 9 = \frac{30 - 47}{3} + \frac{4 C}{3} - 2 C$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.4.2.1.5.2

Subtrahiere $47$ von $30$ .

$- 9 = \frac{- 17}{3} + \frac{4 C}{3} - 2 C$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - B - C$

$- 9 = \frac{- 17}{3} + \frac{4 C}{3} - 2 C$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.4.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 9 = - \frac{17}{3} + \frac{4 C}{3} - 2 C$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.4.2.1.7

Um $- 2 C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 9 = - \frac{17}{3} + \frac{4 C}{3} - 2 C \cdot \frac{3}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.4.2.1.8

Kombiniere $- 2 C$ und $\frac{3}{3}$ .

$- 9 = - \frac{17}{3} + \frac{4 C}{3} + \frac{- 2 C \cdot 3}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.4.2.1.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 9 = - \frac{17}{3} + \frac{4 C - 2 C \cdot 3}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.4.2.1.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 9 = \frac{- 17 + 4 C - 2 C \cdot 3}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.4.2.1.11

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- 9 = \frac{- 17 + 4 C - 6 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.4.2.1.12

Subtrahiere $6 C$ von $4 C$ .

$- 9 = \frac{- 17 - 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.4.2.1.13

Schreibe $- 17$ als $- 1 (17)$ um.

$- 9 = \frac{- 1 \cdot 17 - 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.4.2.1.14

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 C$ heraus.

$- 9 = \frac{- 1 \cdot 17 - (2 C)}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.4.2.1.15

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (17) - (2 C)$ heraus.

$- 9 = \frac{- 1 (17 + 2 C)}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.4.2.1.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - B - C$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - B - C$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - B - C$

Schritt 1.3.4.3

Ersetze alle $B$ in $A = 2 - B - C$ durch $\frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$ .

$A = 2 - (\frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}) - C$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.4.4.1

Vereinfache $2 - (\frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}) - C$ .

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Schritt 1.3.4.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$A = 2 - \frac{47}{3} + \frac{4 C}{3} - C$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.4.4.1.1.2

Multipliziere $- - \frac{4 C}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.4.4.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$A = 2 - \frac{47}{3} + 1 (\frac{4 C}{3}) - C$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.4.4.1.1.2.2

Mutltipliziere $\frac{4 C}{3}$ mit $1$ .

$A = 2 - \frac{47}{3} + \frac{4 C}{3} - C$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - \frac{47}{3} + \frac{4 C}{3} - C$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = 2 - \frac{47}{3} + \frac{4 C}{3} - C$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.4.4.1.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$A = 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{47}{3} + \frac{4 C}{3} - C$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.4.4.1.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$A = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{47}{3} + \frac{4 C}{3} - C$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.4.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A = \frac{2 \cdot 3 - 47}{3} + \frac{4 C}{3} - C$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.4.4.1.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.4.4.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$A = \frac{6 - 47}{3} + \frac{4 C}{3} - C$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.4.4.1.5.2

Subtrahiere $47$ von $6$ .

$A = \frac{- 41}{3} + \frac{4 C}{3} - C$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = \frac{- 41}{3} + \frac{4 C}{3} - C$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.4.4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A = - \frac{41}{3} + \frac{4 C}{3} - C$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.4.4.1.7

Um $- C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$A = - \frac{41}{3} + \frac{4 C}{3} - C \cdot \frac{3}{3}$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.4.4.1.8

Kombiniere $- C$ und $\frac{3}{3}$ .

$A = - \frac{41}{3} + \frac{4 C}{3} + \frac{- C \cdot 3}{3}$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.4.4.1.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A = - \frac{41}{3} + \frac{4 C - C \cdot 3}{3}$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.4.4.1.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A = \frac{- 41 + 4 C - C \cdot 3}{3}$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.4.4.1.11

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$A = \frac{- 41 + 4 C - 3 C}{3}$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.4.4.1.12

Subtrahiere $3 C$ von $4 C$ .

$A = \frac{- 41 + C}{3}$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.4.4.1.13

Schreibe $- 41$ als $- 1 (41)$ um.

$A = \frac{- 1 \cdot 41 + C}{3}$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.4.4.1.14

Faktorisiere $- 1$ aus $C$ heraus.

$A = \frac{- 1 \cdot 41 - 1 (- C)}{3}$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.4.4.1.15

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (41) - 1 (- C)$ heraus.

$A = \frac{- 1 (41 - C)}{3}$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.4.4.1.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.5

Löse in $- 9 = - \frac{17 + 2 C}{3}$ nach $C$ auf.

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Schritt 1.3.5.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{17 + 2 C}{3} = - 9$ um.

$- \frac{17 + 2 C}{3} = - 9$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.5.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 3$ .

$- 3 (- \frac{17 + 2 C}{3}) = - 3 \cdot - 9$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.5.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.3.5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.3.1.1

Vereinfache $- 3 (- \frac{17 + 2 C}{3})$ .

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Schritt 1.3.5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.5.3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{17 + 2 C}{3}$ in den Zähler.

$- 3 \frac{- (17 + 2 C)}{3} = - 3 \cdot - 9$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.5.3.1.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$3 (- 1) (\frac{- (17 + 2 C)}{3}) = - 3 \cdot - 9$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.5.3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot (- 1 \frac{- (17 + 2 C)}{3}) = - 3 \cdot - 9$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.5.3.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$17 + 2 C = - 3 \cdot - 9$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$17 + 2 C = - 3 \cdot - 9$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.5.3.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 1.3.5.3.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (17 + 2 C) = - 3 \cdot - 9$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.5.3.1.1.2.2

Mutltipliziere $17 + 2 C$ mit $1$ .

$17 + 2 C = - 3 \cdot - 9$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$17 + 2 C = - 3 \cdot - 9$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$17 + 2 C = - 3 \cdot - 9$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$17 + 2 C = - 3 \cdot - 9$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.5.3.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 9$ .

$17 + 2 C = 27$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$17 + 2 C = 27$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$17 + 2 C = 27$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.5.4

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.5.4.1

Subtrahiere $17$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 C = 27 - 17$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.5.4.2

Subtrahiere $17$ von $27$ .

$2 C = 10$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$2 C = 10$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.5.5

Teile jeden Ausdruck in $2 C = 10$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 C = 10$ durch $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{10}{2}$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 C}{2} = \frac{10}{2}$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.5.5.2.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{10}{2}$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$C = \frac{10}{2}$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$C = \frac{10}{2}$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.5.3.1

Dividiere $10$ durch $2$ .

$C = 5$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$C = 5$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$C = 5$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$C = 5$

$A = - \frac{41 - C}{3}$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.6

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $5$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.6.1

Ersetze alle $C$ in $A = - \frac{41 - C}{3}$ durch $5$ .

$A = - \frac{41 - (5)}{3}$

$C = 5$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.6.2.1

Vereinfache $- \frac{41 - (5)}{3}$ .

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Schritt 1.3.6.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.6.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$A = - \frac{41 - 5}{3}$

$C = 5$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.6.2.1.1.2

Subtrahiere $5$ von $41$ .

$A = - \frac{36}{3}$

$C = 5$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = - \frac{36}{3}$

$C = 5$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.6.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.6.2.1.2.1

Dividiere $36$ durch $3$ .

$A = - 1 \cdot 12$

$C = 5$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.6.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$A = - 12$

$C = 5$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = - 12$

$C = 5$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = - 12$

$C = 5$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

$A = - 12$

$C = 5$

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$

Schritt 1.3.6.3

Ersetze alle $C$ in $B = \frac{47}{3} - \frac{4 C}{3}$ durch $5$ .

$B = \frac{47}{3} - \frac{4 (5)}{3}$

$A = - 12$

$C = 5$

Schritt 1.3.6.4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.6.4.1

Vereinfache $\frac{47}{3} - \frac{4 (5)}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.6.4.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$B = \frac{47 - 4 \cdot 5}{3}$

$A = - 12$

$C = 5$

Schritt 1.3.6.4.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.6.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$B = \frac{47 - 20}{3}$

$A = - 12$

$C = 5$

Schritt 1.3.6.4.1.2.2

Subtrahiere $20$ von $47$ .

$B = \frac{27}{3}$

$A = - 12$

$C = 5$

Schritt 1.3.6.4.1.2.3

Dividiere $27$ durch $3$ .

$B = 9$

$A = - 12$

$C = 5$

$B = 9$

$A = - 12$

$C = 5$

$B = 9$

$A = - 12$

$C = 5$

$B = 9$

$A = - 12$

$C = 5$

$B = 9$

$A = - 12$

$C = 5$

Schritt 1.3.7

Liste alle Lösungen auf.

$B = 9, A = - 12, C = 5$

Schritt 1.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x + 3}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$\frac{- 12}{x + 1} + \frac{9}{x + 2} + \frac{5}{x + 3}$

Schritt 1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{12}{x + 1} + \frac{9}{x + 2} + \frac{5}{x + 3} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - \frac{12}{x + 1} d x + \int \frac{9}{x + 2} d x + \int \frac{5}{x + 3} d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{12}{x + 1} d x + \int \frac{9}{x + 2} d x + \int \frac{5}{x + 3} d x$

Schritt 4

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$- (12 \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{9}{x + 2} d x + \int \frac{5}{x + 3} d x$

Schritt 5

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$- 12 \int \frac{1}{x + 1} d x + \int \frac{9}{x + 2} d x + \int \frac{5}{x + 3} d x$

Schritt 6

Sei $u_{1} = x + 1$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Es sei $u_{1} = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 6.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$- 12 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{9}{x + 2} d x + \int \frac{5}{x + 3} d x$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$- 12 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{9}{x + 2} d x + \int \frac{5}{x + 3} d x$

Schritt 8

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$- 12 (\ln (| u_{1} |) + C) + 9 \int \frac{1}{x + 2} d x + \int \frac{5}{x + 3} d x$

Schritt 9

Sei $u_{2} = x + 2$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u_{2} = x + 2$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Differenziere $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 9.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 9.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 9.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- 12 (\ln (| u_{1} |) + C) + 9 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{5}{x + 3} d x$

Schritt 10

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$- 12 (\ln (| u_{1} |) + C) + 9 (\ln (| u_{2} |) + C) + \int \frac{5}{x + 3} d x$

Schritt 11

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$- 12 (\ln (| u_{1} |) + C) + 9 (\ln (| u_{2} |) + C) + 5 \int \frac{1}{x + 3} d x$

Schritt 12

Sei $u_{3} = x + 3$ . Dann ist $d u_{3} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 12.1

Es sei $u_{3} = x + 3$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Schritt 12.1.1

Differenziere $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 12.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 12.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 12.1.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 12.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 12.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$- 12 (\ln (| u_{1} |) + C) + 9 (\ln (| u_{2} |) + C) + 5 \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Schritt 13

Das Integral von $\frac{1}{u_{3}}$ nach $u_{3}$ ist $\ln (| u_{3} |)$ .

$- 12 (\ln (| u_{1} |) + C) + 9 (\ln (| u_{2} |) + C) + 5 (\ln (| u_{3} |) + C)$

Schritt 14

Vereinfache.

$- 12 \ln (| u_{1} |) + 9 \ln (| u_{2} |) + 5 \ln (| u_{3} |) + C$

Schritt 15

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 15.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x + 1$ .

$- 12 \ln (| x + 1 |) + 9 \ln (| u_{2} |) + 5 \ln (| u_{3} |) + C$

Schritt 15.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 2$ .

$- 12 \ln (| x + 1 |) + 9 \ln (| x + 2 |) + 5 \ln (| u_{3} |) + C$

Schritt 15.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $x + 3$ .

$- 12 \ln (| x + 1 |) + 9 \ln (| x + 2 |) + 5 \ln (| x + 3 |) + C$