Analysis Beispiele

$\int \frac{1 + 10 t^{7}}{9 t} d t$

Schritt 1

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{9}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{9} \int \frac{1 + 10 t^{7}}{t} d t$

Schritt 2

Stelle $1$ und $10 t^{7}$ um.

$\frac{1}{9} \int \frac{10 t^{7} + 1}{t} d t$

Schritt 3

Dividiere $10 t^{7} + 1$ durch $t$ .

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Schritt 3.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

Schritt 3.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $10 t^{7}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $t$ .

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

Schritt 3.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

$10 t^{7}$

$0$

Schritt 3.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $10 t^{7} + 0$

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

$10 t^{7}$

$0$

Schritt 3.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

$10 t^{7}$

$0$

Schritt 3.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

$10 t^{7}$

$0$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{1}{9} \int 10 t^{6} + \frac{1}{t} d t$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{9} (\int 10 t^{6} d t + \int \frac{1}{t} d t)$

Schritt 5

Da $10$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$\frac{1}{9} (10 \int t^{6} d t + \int \frac{1}{t} d t)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{6}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{7} t^{7}$ .

$\frac{1}{9} (10 (\frac{1}{7} t^{7} + C) + \int \frac{1}{t} d t)$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{t}$ nach $t$ ist $\ln (| t |)$ .

$\frac{1}{9} (10 (\frac{1}{7} t^{7} + C) + \ln (| t |) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $t^{7}$ .

$\frac{1}{9} (10 (\frac{t^{7}}{7} + C) + \ln (| t |) + C)$

Schritt 8.2

Vereinfache.

$\frac{1}{9} (\frac{10 t^{7}}{7} + \ln (| t |)) + C$

Schritt 8.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{9} (\frac{10}{7} t^{7} + \ln (| t |)) + C$