Analysis Beispiele

$\int \frac{24 x^{3} + 20 x}{3 x^{4} + 5 x^{2}} d x$

Schritt 1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $24 x^{3} + 20 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $24 x^{3}$ heraus.

$\frac{4 x (6 x^{2}) + 20 x}{3 x^{4} + 5 x^{2}}$

Schritt 1.1.1.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $20 x$ heraus.

$\frac{4 x (6 x^{2}) + 4 x (5)}{3 x^{4} + 5 x^{2}}$

Schritt 1.1.1.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (6 x^{2}) + 4 x (5)$ heraus.

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{3 x^{4} + 5 x^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{4} + 5 x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{4}$ heraus.

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2}) + 5 x^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot 5}$

Schritt 1.1.1.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot 5$ heraus.

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2} + 5)}$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck $\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2} + 5)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x (6 x^{2} + 5)$ heraus.

$\frac{x (4 (6 x^{2} + 5))}{x^{2} (3 x^{2} + 5)}$

Schritt 1.1.1.3.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (3 x^{2} + 5)$ heraus.

$\frac{x (4 (6 x^{2} + 5))}{x (x (3 x^{2} + 5))}$

Schritt 1.1.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (4 (6 x^{2} + 5))}{x (x (3 x^{2} + 5))}$

Schritt 1.1.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (6 x^{2} + 5)}{x (3 x^{2} + 5)}$

Schritt 1.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{3 x^{2} + 5}$

Schritt 1.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x (3 x^{2} + 5)$ .

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (x (3 x^{2} + 5))}{x (3 x^{2} + 5)} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Schritt 1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (x (3 x^{2} + 5))}{x (3 x^{2} + 5)} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Schritt 1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (3 x^{2} + 5)}{3 x^{2} + 5} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Schritt 1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x^{2} + 5$ .

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Schritt 1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (3 x^{2} + 5)}{3 x^{2} + 5} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Schritt 1.1.5.2

Dividiere $4 (6 x^{2} + 5)$ durch $1$ .

$4 (6 x^{2} + 5) = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Schritt 1.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (6 x^{2}) + 4 \cdot 5 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Schritt 1.1.7

Multipliziere.

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Schritt 1.1.7.1

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$24 x^{2} + 4 \cdot 5 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Schritt 1.1.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$24 x^{2} + 20 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Schritt 1.1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$24 x^{2} + 20 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Schritt 1.1.8.1.2

Dividiere $A (3 x^{2} + 5)$ durch $1$ .

$24 x^{2} + 20 = A (3 x^{2} + 5) + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Schritt 1.1.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$24 x^{2} + 20 = A (3 x^{2}) + A \cdot 5 + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Schritt 1.1.8.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + A \cdot 5 + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Schritt 1.1.8.4

Bringe $5$ auf die linke Seite von $A$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Schritt 1.1.8.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x^{2} + 5$ .

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Schritt 1.1.8.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Schritt 1.1.8.5.2

Dividiere $(B x + C) (x)$ durch $1$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + (B x + C) (x)$

Schritt 1.1.8.6

Wende das Distributivgesetz an.

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + B x \cdot x + C x$

Schritt 1.1.8.7

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.8.7.1

Bewege $x$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + B (x \cdot x) + C x$

Schritt 1.1.8.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + B x^{2} + C x$

Schritt 1.1.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.9.1

Bewege $A$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 x^{2} A + 5 A + B x^{2} + C x$

Schritt 1.1.9.2

Stelle $B$ und $x^{2}$ um.

$24 x^{2} + 20 = 3 x^{2} A + 5 A + B x^{2} + C x$

Schritt 1.1.9.3

Bewege $5 A$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 x^{2} A + B x^{2} + C x + 5 A$

Schritt 1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$24 = 3 A + B$

Schritt 1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = C$

Schritt 1.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$20 = 5 A$

Schritt 1.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$24 = 3 A + B$

$0 = C$

$20 = 5 A$

$24 = 3 A + B$

$0 = C$

$20 = 5 A$

Schritt 1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 1.3.1

Schreibe die Gleichung als $C = 0$ um.

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$20 = 5 A$

Schritt 1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.2.1

Schreibe die Gleichung als $5 A = 20$ um.

$5 A = 20$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

Schritt 1.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 A = 20$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 A = 20$ durch $5$ .

$\frac{5 A}{5} = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

Schritt 1.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 A}{5} = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

Schritt 1.3.2.2.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

Schritt 1.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.2.3.1

Dividiere $20$ durch $5$ .

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.3.1

Ersetze alle $A$ in $24 = 3 A + B$ durch $4$ .

$24 = 3 (4) + B$

$A = 4$

$C = 0$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$24 = 12 + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 12 + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 12 + B$

$A = 4$

$C = 0$

Schritt 1.3.4

Löse in $24 = 12 + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 1.3.4.1

Schreibe die Gleichung als $12 + B = 24$ um.

$12 + B = 24$

$A = 4$

$C = 0$

Schritt 1.3.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.4.2.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = 24 - 12$

$A = 4$

$C = 0$

Schritt 1.3.4.2.2

Subtrahiere $12$ von $24$ .

$B = 12$

$A = 4$

$C = 0$

$B = 12$

$A = 4$

$C = 0$

$B = 12$

$A = 4$

$C = 0$

Schritt 1.3.5

Löse das Gleichungssystem.

$B = 12 A = 4 C = 0$

Schritt 1.3.6

Liste alle Lösungen auf.

$B = 12, A = 4, C = 0$

Schritt 1.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{3 x^{2} + 5}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$\frac{4}{x} + \frac{12 x + 0}{3 x^{2} + 5}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{4}{x} + \frac{(12) \cdot x + 0}{3 x^{2} + 5}$

Schritt 1.5.2

Addiere $12 x$ und $0$ .

$\int \frac{4}{x} + \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{4}{x} d x + \int \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

Schritt 5

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{x}{3 x^{2} + 5} d x$

Schritt 6

Sei $u = 3 x^{2} + 5$ . Dann ist $d u = 6 x d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = 3 x^{2} + 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $3 x^{2} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 6.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 6.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 6.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 6.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 6.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 6.1.4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x + 0$

Schritt 6.1.4.2

Addiere $6 x$ und $0$ .

$6 x$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{1}{u \cdot 6} d u$

Schritt 7.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $u$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{1}{6 u} d u$

Schritt 8

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $12$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{12}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $6$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{6 \cdot 2}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 9.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 9.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 10

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 2 (\ln (| u |) + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

$4 \ln (| x |) + 2 \ln (| u |) + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{2} + 5$ .

$4 \ln (| x |) + 2 \ln (| 3 x^{2} + 5 |) + C$