Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{x (1 + x^{2})} d x$

Schritt 1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x (1 + x^{2})$ .

$\frac{1 (x (1 + x^{2}))}{x (1 + x^{2})} = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (x (1 + x^{2}))}{x (1 + x^{2})} = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{2}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.5.1.2

Dividiere $A (1 + x^{2})$ durch $1$ .

$1 = A (1 + x^{2}) + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A \cdot 1 + A x^{2} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.5.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$1 = A + A x^{2} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{2}$ .

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Schritt 1.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A + A x^{2} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.5.4.2

Dividiere $(B x + C) (x)$ durch $1$ .

$1 = A + A x^{2} + (B x + C) (x)$

Schritt 1.1.5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A + A x^{2} + B x \cdot x + C x$

Schritt 1.1.5.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.5.6.1

Bewege $x$ .

$1 = A + A x^{2} + B (x \cdot x) + C x$

Schritt 1.1.5.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1 = A + A x^{2} + B x^{2} + C x$

Schritt 1.1.6

Bewege $A$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Schritt 1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + B$

Schritt 1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = C$

Schritt 1.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A$

Schritt 1.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Schritt 1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 1.3.1

Schreibe die Gleichung als $C = 0$ um.

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

Schritt 1.3.2

Schreibe die Gleichung als $A = 1$ um.

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.3.1

Ersetze alle $A$ in $0 = A + B$ durch $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.2.1

Entferne die Klammern.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 1.3.4

Löse in $0 = 1 + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 1.3.4.1

Schreibe die Gleichung als $1 + B = 0$ um.

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 1.3.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 1.3.5

Löse das Gleichungssystem.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

Schritt 1.3.6

Liste alle Lösungen auf.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

Schritt 1.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{1 + x^{2}}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$\frac{1}{x} + \frac{- 1 x + 0}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{1}{x} + \frac{(- 1) \cdot x + 0}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.2.1

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{1}{x} + \frac{- x + 0}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.5.2.2

Addiere $- x$ und $0$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- x}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{x} - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 5

Sei $u = 1 + x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 1 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 5.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| x |) + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$\ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$\ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$