Analysis Beispiele

$\tan (x) \cot (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = \cot (x)$ .

$\tan (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$\tan (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\tan (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \sec^{2} (x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x)$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cot (x)$

Schritt 4.2.2

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 4.2.4.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{\cos (x)}$ mit $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 4.2.6

Separiere Brüche.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 4.2.7

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\sin (x)} \sec (x)$

Schritt 4.2.8

Separiere Brüche.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

Schritt 4.2.9

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{1} \csc (x) \sec (x)$

Schritt 4.2.10

Dividiere $1^{2}$ durch $1$ .

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + 1^{2} \csc (x) \sec (x)$

Schritt 4.2.11

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + 1 \csc (x) \sec (x)$

Schritt 4.2.12

Mutltipliziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \csc (x) \sec (x)$