Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{x \sqrt{9 - 4 x^{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $x = \frac{3}{2} \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \frac{3 \cos (t)}{2} d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \cos (t)}{2}$ positiv ist.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 {(\frac{3}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{9 - 4 {(\frac{3}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $\sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 {(\frac{3 \sin (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 \sin (t)}{2}$ an.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.2.2

Wende die Produktregel auf $3 \sin (t)$ an.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{3^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{9 \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 + 4 (- 1) \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 + 4 \cdot - 1 \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 1 (9 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.6

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $9$ aus $- 9 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $9$ aus $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.6

Schreibe $9 \cos^{2} (t)$ als ${(3 \cos (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) (3 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $\sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 \sin (t)}{2} (3 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{3 \sin (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 (3 \sin (t))}{2} \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\int \frac{1}{\frac{9 \sin (t)}{2} \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $\frac{9 \sin (t)}{2}$ und $\cos (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{9 \sin (t) \cos (t)}{2}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.5

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{9 \sin (t) \cos (t)}{2}$ zu dividieren.

$\int 1 \frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)} \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $\frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)}$ mit $1$ .

$\int \frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $\frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)}$ mit $\frac{3 \cos (t)}{2}$ .

$\int \frac{2 (3 \cos (t))}{9 \sin (t) \cos (t) \cdot 2} d t$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\int \frac{6 \cos (t)}{9 \sin (t) \cos (t) \cdot 2} d t$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\int \frac{6 \cos (t)}{18 \sin (t) \cos (t)} d t$

Schritt 2.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $18$ .

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Schritt 2.2.10.1

Faktorisiere $6$ aus $6 \cos (t)$ heraus.

$\int \frac{6 (\cos (t))}{18 \sin (t) \cos (t)} d t$

Schritt 2.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.10.2.1

Faktorisiere $6$ aus $18 \sin (t) \cos (t)$ heraus.

$\int \frac{6 (\cos (t))}{6 (3 \sin (t) \cos (t))} d t$

Schritt 2.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{6 \cos (t)}{6 (3 \sin (t) \cos (t))} d t$

Schritt 2.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

Schritt 2.2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

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Schritt 2.2.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

Schritt 2.2.11.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{3 \sin (t)} d t$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Schritt 4

Wandle von $\frac{1}{\sin (t)}$ nach $\csc (t)$ um.

$\frac{1}{3} \int \csc (t) d t$

Schritt 5

Das Integral von $\csc (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{2 x}{3})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{2 x}{3})) - \cot (\arcsin (\frac{2 x}{3})) |) + C$

Schritt 8

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{2}{3} x)) - \cot (\arcsin (\frac{2}{3} x)) |) + C$