Analysis Beispiele

$\int e^{t} \cot (e^{t} - 4) d t$

Schritt 1

Sei $u = e^{t} - 4$ . Dann ist $d u = e^{t} d t$ , folglich $\frac{1}{e^{t}} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = e^{t} - 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $e^{t} - 4$ .

$\frac{d}{d t} [e^{t} - 4]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{t} - 4$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 4]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{t} + \frac{d}{d t} [- 4]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$e^{t} + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $e^{t}$ und $0$ .

$e^{t}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \cot (u) d u$

Schritt 2

Das Integral von $\cot (u)$ nach $u$ ist $\ln (| \sin (u) |)$ .

$\ln (| \sin (u) |) + C$

Schritt 3

Ersetze alle $u$ durch $e^{t} - 4$ .

$\ln (| \sin (e^{t} - 4) |) + C$