Analysis Beispiele

$\int \frac{\ln (3 t - 5)}{3 t - 5} d t$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 3 t - 5$ . Dann ist $d u_{1} = 3 d t$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 3 t - 5$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 t - 5$ .

$\frac{d}{d t} [3 t - 5]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 t - 5$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [3 t]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d t} [- 5]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{\ln (u_{1})}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1} \cdot 3} d u_{1}$

Schritt 2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\int \frac{\ln (u_{1})}{3 u_{1}} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 4

Sei $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , folglich $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ als $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 7

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 7.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\ln (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} \ln^{2} (u_{1}) + C$

Schritt 7.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 t - 5$ .

$\frac{1}{6} \ln^{2} (3 t - 5) + C$