Analysis Beispiele

$\int \frac{\ln (1 + \sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{\ln (1 + x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{\ln (1 + x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 1.3

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 1.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , folglich $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 2.1.3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.1.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.1.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 2.1.3.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 2.1.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.4.2.2

Addiere $0$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 2 \ln (u) d u$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \ln (u) d u$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = \ln (u)$ und $dv = 1$ .

$2 (\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $u$ und $\frac{1}{u}$ .

$2 (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (\ln (u) u - \int d u)$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\ln (u) u - (u + C))$

Schritt 7

Vereinfache.

$2 (\ln (u) u - u) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - (1 + x^{\frac{1}{2}})) + C$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 - x^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 1 - x^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- x^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 9.4

Vereinfache.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 2 + 2 (- x^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 9.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 2 - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$