Analysis Beispiele

$\int \frac{\sin (\frac{5}{x})}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = \frac{5}{x}$ . Dann ist $d u = - \frac{5}{x^{2}} d x$ , folglich $1 d u = - \frac{5}{x^{2}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{5}{x}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{5}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Schritt 1.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{x}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.1.3

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$5 (- x^{- 2})$

Schritt 1.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 x^{- 2}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.6.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.6.2.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 5}{x^{2}}$

Schritt 1.1.6.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - \frac{1}{5} \sin (u) d u$

Schritt 2

Da $- \frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- \frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{5} \int \sin (u) d u$

Schritt 3

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$- \frac{1}{5} (- \cos (u) + C)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache.

$- \frac{1}{5} (- \cos (u)) + C$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{5}) \cos (u) + C$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} \cos (u) + C$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $\cos (u)$ .

$\frac{\cos (u)}{5} + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $\frac{5}{x}$ .

$\frac{\cos (\frac{5}{x})}{5} + C$

Schritt 6

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{5} \cos (\frac{5}{x}) + C$