Analysis Beispiele

$\int e^{2 x} \sin (e^{x}) d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{u_{1}}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) d u_{1}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{e^{u_{1}}}{2}$ und $\sin (e^{\frac{u_{1}}{2}})$ .

$\int \frac{e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}})}{2} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) d u_{1}$

Schritt 4

Sei $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , folglich $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Schritt 4.1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $\frac{u_{1}}{2}$ nach $u_{1}$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) (1 \cdot 2) d u_{2}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) \cdot 2 d u_{2}$

Schritt 5.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}})$ .

$\frac{1}{2} \int 2 e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (2 \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $\int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$ mit $1$ .

$\int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Schritt 8

Sei $u_{3} = e^{u_{2}}$ . Dann ist $d u_{3} = e^{u_{2}} d u_{2}$ , folglich $\frac{1}{e^{u_{2}}} d u_{3} = d u_{2}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u_{3} = e^{u_{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $e^{u_{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}]$

Schritt 8.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{2}}$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$\int u_{3} \sin (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 9

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = u_{3}$ und $dv = \sin (u_{3})$ .

$u_{3} (- \cos (u_{3})) - \int - \cos (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$u_{3} (- \cos (u_{3})) - - \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + 1 \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $\int \cos (u_{3}) d u_{3}$ mit $1$ .

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Schritt 12

Das Integral von $\cos (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\sin (u_{3})$ .

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + \sin (u_{3}) + C$

Schritt 13

Schreibe $u_{3} (- \cos (u_{3})) + \sin (u_{3}) + C$ als $- u_{3} \cos (u_{3}) + \sin (u_{3}) + C$ um.

$- u_{3} \cos (u_{3}) + \sin (u_{3}) + C$

Schritt 14

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 14.1

Ersetze alle $u_{3}$ durch $e^{u_{2}}$ .

$- e^{u_{2}} \cos (e^{u_{2}}) + \sin (e^{u_{2}}) + C$

Schritt 14.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{u_{1}}{2}$ .

$- e^{\frac{u_{1}}{2}} \cos (e^{\frac{u_{1}}{2}}) + \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) + C$

Schritt 14.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$- e^{\frac{2 x}{2}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 x}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- e^{\frac{2 x}{2}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Schritt 15.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Schritt 15.2

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 x}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Schritt 15.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Schritt 15.3

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 x}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Schritt 15.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

Schritt 15.4

Dividiere $x$ durch $1$ .

$- e^{x} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

Schritt 15.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$- e^{x} \cos (e^{x}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

Schritt 15.6

Dividiere $x$ durch $1$ .

$- e^{x} \cos (e^{x}) + \sin (e^{x}) + C$