Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} 3 \csc (2 x) d x$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} \csc (2 x) d x$

Schritt 2

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{8}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Schritt 2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Kombiniere $\csc (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\csc (u)}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u) d u)$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$\frac{3}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u) d u$

Schritt 6

Das Integral von $\csc (u)$ nach $u$ ist $\ln (| \csc (u) - \cot (u) |)$ .

$\frac{3}{2} \ln (| \csc (u) - \cot (u) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$

Schritt 7

Berechne $\ln (| \csc (u) - \cot (u) |)$ bei $\frac{π}{2}$ und $\frac{π}{4}$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| \csc (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |))$

Schritt 8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |))$

Schritt 8.2

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |))$

Schritt 8.3

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{4})$ ist $\sqrt{2}$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |))$

Schritt 8.4

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |))$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 + 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |))$

Schritt 8.6

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |))$

Schritt 8.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |))$

Schritt 8.8

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{3}{2} \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Schritt 8.9

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $\ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$ .

$\frac{3 \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})}{2}$

Schritt 9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{3 \ln (\frac{1}{| \sqrt{2} - 1 |})}{2}$

Schritt 9.2

$\sqrt{2} - 1$ ist ungefähr $0.41421356$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{3 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1})}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1})}{2}$

Dezimalform:

$1.32206038 \dots$