Analysis Beispiele

$\int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \sin (2 x) d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{6}$ in den Zähler.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{6}$

Schritt 1.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2 (3)}$

Schritt 1.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

Schritt 1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u) d u$

Schritt 4

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Schritt 5

Berechne $- \cos (u)$ bei $\frac{π}{3}$ und $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (- \frac{π}{3}))$

Schritt 6

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{5 π}{3}))$

Schritt 7.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{π}{3}))$

Schritt 7.1.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 1}{2}$

Schritt 7.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2}$

Schritt 7.4

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$0$