Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{4}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = π$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) d u$

Schritt 4

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}$

Schritt 5

Berechne $\sin (u)$ bei $π$ und $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (π) - 1 \cdot 1)$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (π) - 1)$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{1}{2} (\sin (0) - 1)$

Schritt 7.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - 1)$

Schritt 7.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1$

Schritt 7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Schritt 7.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$- 0.5$