Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) \cos (x) d x$

Schritt 1

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \sin (x)$ ein.

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \sin (x)$ ein.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 1.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{3} d u$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $\frac{1}{4} u^{4}$ bei $1$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{4}$ als $2^{2}$ um.

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Schritt 4.1.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}}$

Schritt 4.1.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{4}{2}}}{2^{4}}$

Schritt 4.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}}$

Schritt 4.1.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}}$

Schritt 4.1.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}}$

Schritt 4.1.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2}{1}}}{2^{4}}$

Schritt 4.1.2.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{2}}{2^{4}}$

Schritt 4.1.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{2^{4}}$

Schritt 4.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

Schritt 4.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

Schritt 4.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{16}$

Schritt 4.2

Um $\frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{16}$

Schritt 4.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{1}{16}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{4}{16} - \frac{1}{16}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 - 1}{16}$

Schritt 4.5

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{3}{16}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3}{16}$

Dezimalform:

$0.1875$