Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} e^{\sin (q)} \cdot \cos (q) d q$

Schritt 1

Sei $u = \sin (q)$ . Dann ist $d u = \cos (q) d q$ , folglich $\frac{1}{\cos (q)} d u = d q$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \sin (q)$ . Ermittle $\frac{d u}{d q}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\sin (q)$ .

$\frac{d}{d q} [\sin (q)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\sin (q)$ nach $q$ ist $\cos (q)$ .

$\cos (q)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $q$ in $u = \sin (q)$ ein.

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $q$ in $u = \sin (q)$ ein.

$u_{upper} = \sin (π)$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$u_{upper} = \sin (0)$

Schritt 1.5.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{0} e^{u} d u$

Schritt 2

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{u}]_{1}^{0}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $e^{u}$ bei $0$ und $1$ .

$(e^{0}) - e^{1}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 - e^{1}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

$1 - e$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$1 - e$

Dezimalform:

$- 1.71828182 \dots$