Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 + \cos (x)}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 + \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- d u = \sin (x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $\sin (x)$ von $0$ .

$- \sin (x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 + \cos (x)$ ein.

$u_{lower} = 1 + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = 1 + \frac{1}{2}$

Schritt 1.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$u_{lower} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 1.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u_{lower} = \frac{2 + 1}{2}$

Schritt 1.3.4

Addiere $2$ und $1$ .

$u_{lower} = \frac{3}{2}$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 + \cos (x)$ ein.

$u_{upper} = 1 + \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \frac{3}{2}$

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{\frac{3}{2}}^{1} - \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 4.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{\frac{3}{2}}^{1})$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $2 u^{\frac{1}{2}}$ bei $1$ und $\frac{3}{2}$ .

$- ((2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- (2 \cdot 1 - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- (2 - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 \cdot 2 - (- 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 - (- 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- 2 + 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 2 + 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Dezimalform:

$0.44948974 \dots$