Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cot (x) d x$

Schritt 1

Das Integral von $\cot (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Berechne $\ln (| \sin (x) |)$ bei $\frac{π}{3}$ und $\frac{π}{4}$ .

$\ln (| \sin (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)$

Schritt 2.2.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |)$

Schritt 2.2.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{3}}{2} |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ist ungefähr $0.8660254$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Schritt 2.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ist ungefähr $0.70710678$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Schritt 2.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}})$

Schritt 2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}})$

Schritt 2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\sqrt{3} \frac{1}{\sqrt{2}})$

Schritt 2.3.5

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Dezimalform:

$0.20273255 \dots$