Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{1 + 5 x} d x d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 + 5 x$ . Dann ist $d u = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + 5 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$0 + 5$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $5$ .

$5$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5} d u d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 5} d u d x$

Schritt 2.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{1}{5 u} d u d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $d$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{d}{5} \int \frac{1}{u} d u x$

Schritt 4.2

Kombiniere $x$ und $\frac{d}{5}$ .

$\frac{x d}{5} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{x d}{5} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 6

Schreibe $\frac{x d}{5} (\ln (| u |) + C)$ als $\frac{1}{5} x d \ln (| u |) + C$ um.

$\frac{1}{5} x d \ln (| u |) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $1 + 5 x$ .

$\frac{1}{5} x d \ln (| 1 + 5 x |) + C$