Analysis Beispiele

$\int e^{2 x} \cos (4 x) d x$

Schritt 1

Stelle $e^{2 x}$ und $\cos (4 x)$ um.

$\int \cos (4 x) e^{2 x} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \cos (4 x)$ und $d v = e^{2 x}$ .

$\cos (4 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (- 4 \sin (4 x)) d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2} \cdot - 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2} \cdot - 4$ aus dem Integral.

$\cos (4 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot - 4 \int e^{2 x} (\sin (4 x)) d x)$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$\cos (4 x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 4 \int e^{2 x} (\sin (4 x)) d x)$

Schritt 4.2

Kombiniere $\cos (4 x)$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 4 \int e^{2 x} (\sin (4 x)) d x)$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 4$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} \int e^{2 x} (\sin (4 x)) d x)$

Schritt 4.4

Stelle $e^{2 x}$ und $\sin (4 x)$ um.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} \int \sin (4 x) e^{2 x} d x)$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sin (4 x)$ und $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\sin (4 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (4 \cos (4 x)) d x))$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2} \cdot 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2} \cdot 4$ aus dem Integral.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\sin (4 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)))$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\sin (4 x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)))$

Schritt 7.2

Kombiniere $\sin (4 x)$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\frac{\sin (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)))$

Schritt 7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\frac{\sin (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)))$

Schritt 7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 4}{2} \cdot \frac{\sin (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 4}{2} (- (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x))$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $\frac{\sin (4 x) e^{2 x}}{2}$ mit $\frac{- 4}{2}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{2 \cdot 2} - \frac{- 4}{2} (- (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x))$

Schritt 7.6

Multipliziere.

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Schritt 7.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} - \frac{- 4}{2} (- (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x))$

Schritt 7.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + 1 (\frac{- 4}{2}) (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)$

Schritt 7.6.3

Mutltipliziere $\frac{- 4}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + \frac{- 4}{2} (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)$

Schritt 7.7

Mutltipliziere $\frac{4}{2}$ mit $\frac{- 4}{2}$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + \frac{4 \cdot - 4}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x$

Schritt 7.8

Multipliziere.

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Schritt 7.8.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + \frac{- 16}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x$

Schritt 7.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + \frac{- 16}{4} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x$

Schritt 8

Wenn nach $\int e^{2 x} \cos (4 x) d x$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int e^{2 x} \cos (4 x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4}}{\frac{20}{4}}$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4}}{\frac{20}{4}} + C$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $\sin (4 x) e^{2 x}$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 4 \cdot (\sin (4 x) e^{2 x})}{4}}{\frac{20}{4}} + C$

Schritt 9.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 9.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sin (4 x) e^{2 x}$ heraus.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{4 (- \sin (4 x) e^{2 x})}{4}}{\frac{20}{4}} + C$

Schritt 9.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{4 (- \sin (4 x) e^{2 x})}{4 (1)}}{\frac{20}{4}} + C$

Schritt 9.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{4 (- \sin (4 x) e^{2 x})}{4 \cdot 1}}{\frac{20}{4}} + C$

Schritt 9.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{- \sin (4 x) e^{2 x}}{1}}{\frac{20}{4}} + C$

Schritt 9.1.2.2.4

Dividiere $- \sin (4 x) e^{2 x}$ durch $1$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (- \sin (4 x) e^{2 x})}{\frac{20}{4}} + C$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + 1 (\sin (4 x) e^{2 x})}{\frac{20}{4}} + C$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $\sin (4 x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{20}{4}} + C$

Schritt 9.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $4$ .

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Schritt 9.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{4 \cdot 5}{4}} + C$

Schritt 9.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{4 \cdot 5}{4 (1)}} + C$

Schritt 9.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1}} + C$

Schritt 9.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{5}{1}} + C$

Schritt 9.1.5.2.4

Dividiere $5$ durch $1$ .

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{5} + C$

Schritt 9.1.6

Mutltipliziere $\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{5}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{5} + C$

Schritt 9.1.7

Kombinieren.

$\frac{2 (\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x})}{2 \cdot 5} + C$

Schritt 9.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + 2 (\sin (4 x) e^{2 x})}{2 \cdot 5} + C$

Schritt 9.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + 2 (\sin (4 x) e^{2 x})}{2 \cdot 5} + C$

Schritt 9.1.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x} + 2 (\sin (4 x) e^{2 x})}{2 \cdot 5} + C$

Schritt 9.1.10

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x} + 2 \sin (4 x) e^{2 x}}{10} + C$

Schritt 9.2

Schreibe $\frac{\cos (4 x) e^{2 x} + 2 \sin (4 x) e^{2 x}}{10} + C$ als $\frac{1}{10} (\cos (4 x) e^{2 x} + 2 \sin (4 x) e^{2 x}) + C$ um.

$\frac{1}{10} (\cos (4 x) e^{2 x} + 2 \sin (4 x) e^{2 x}) + C$