Analysis Beispiele

$\int e^{- \frac{x}{3}} d x$

Schritt 1

Sei $u = - \frac{x}{3}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{3} d x$ , folglich $- 3 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = - \frac{x}{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $- \frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}]$

Schritt 1.1.2

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 2.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{3}$ zu dividieren.

$\int - e^{u} (1 \cdot 3) d u$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\int - e^{u} \cdot 3 d u$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int - 3 e^{u} d u$

Schritt 3

Da $- 3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$- 3 \int e^{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- 3 (e^{u} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$- 3 e^{u} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{x}{3}$ .

$- 3 e^{- \frac{x}{3}} + C$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$- 3 e^{- \frac{1}{3} x} + C$