Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{9}{x^{2} + 5}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{9}{x^{2} + 5}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 5}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 5}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2} + 5}$ als ${(x^{2} + 5)}^{- 1}$ um.

$9 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 5$ .

$9 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$9 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 5$ .

$9 (- {(x^{2} + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- 9 ({(x^{2} + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 9 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 9 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 3.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 9 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (2 x + 0)$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- 9 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (2 x)$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$- 18 {(x^{2} + 5)}^{- 2} x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 18 \frac{1}{{(x^{2} + 5)}^{2}} x$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 18$ und $\frac{1}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 18}{{(x^{2} + 5)}^{2}} x$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{18}{{(x^{2} + 5)}^{2}} x$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{18}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 18}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 4.2.4

Bringe $18$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{18 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$